Съдържание

Самара 2021, III кръг (очен), 7–9 клас — Задача 4. Свет далекого фонарика (для 7-9 классов)

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2021

Условия задач Открытой межрегиональной олимпиады по астрономии имени Ф.А. Бредихина 7-9 класс · 25 април 2021 г.

Условие

Чему равно расстояние, с которого звездная величина фонаря смартфона, мощностью 1 Вт в оптическом диапазоне, равна проницающей способности среднестатистического глаза человека? Сможет ли увидеть свет фонаря такой человек с ростом, равным 180 см, будучи от него на расстоянии, равном дальности прямой видимости на поверхности Земли?

Отговори

Решение

Круг Земли с центром C и горизонтальным диаметром через E; на вершине круга точка O и столбик высоты h с вершиной A; касательная r из A к окружности в точке B, отрезок BC = R⊕, угол α при C между CB и вертикалью CO; сегмент над хордой через B закрашен оранжевым, остальной круг голубым; второй радиус EC подписан R⊕. — Рис. 4: к определению дальности прямой видимости.

Решение.

1. Определим освещенность, создаваемую фонариком смартфона на расстоянии $r$ от последнего:

E = \frac{P}{2\pi r^2},\ \text{(3 балла)} \qquad (11)

здесь учтено, что фонарик излучает свет в полусферу площадью $2\pi r^2$ (2 балла).

2-а. Возможное решение для 7-9 классов. Освещенность, создаваемая звездой с видимой визуальной звездной величиной $m_y = 6^m$ , есть

E_y = f_{\odot} : (2.512)^{(m_y - m_{\odot})} \approx 4.80\cdot10^{-11}\ (\text{Вт}/\text{м})^2,\quad \text{(4 балла)} \qquad (12)

здесь $f_{\odot} = 600$ Вт/м $^2$ – освещенность, создаваемая Солнцем в видимом диапазоне на орбите Земли; $m_{\odot} = -26.74^m$ – соответствующая видимая визуальная звездная величина Солнца.

2-б. Возможное решение для 9 классов. Воспользуемся формулой По́гсона для определения освещенности $E_y$ :

\frac{E_y}{f_{\odot}} = 10^{-0.4(m_y - m_{\odot})},\ \Rightarrow\ E_y = f_{\odot}\cdot10^{-0.4(m_y - m_{\odot})} = 4.80\cdot10^{-11}\ (\text{Вт}/\text{м})^2.\ \text{(4 балла)} \qquad (13)

3. Определим искомое расстояние при условии равенства $E = E_y$ :

\frac{P}{2\pi r_6^2} = E_y,\ \Rightarrow\ r_6 = \sqrt{\frac{P}{2\pi E_y}} = 5.75\cdot10^{4}\ \text{м} = 57.5\ \text{км}.\ \text{(4 балла)} \qquad (14)

4. Дальность прямой видимости – это максимальное расстояние между наблюдателем и точкой видимого горизонта (см. рис. 4). Если рост наблюдателя равен $h$ =1.8 м, то искомая дальность будет равна отрезку $AB$ . Учитывая, что треугольник $\triangle ABC$ является прямоугольным, получаем

r_{\max} = AB = \sqrt{(\mathfrak{R}_{\oplus} + h)^2 - \mathfrak{R}_{\oplus}^2} = \sqrt{2\mathfrak{R}_{\oplus}h} \approx 4.8\cdot10^{3}\ \text{м} = 4.8\ \text{км}.\ \text{(5 баллов)}

Поскольку $r_{\max}$ существенно меньше $r_6$ , то с расстояния $r_{\max}$ можно будет увидеть свет такого фонарика невооруженным глазом (2 балла).

Ответ: к задаче представляется выражением (14); можно.

Рекомендации для жюри.

Выполненная часть решения задачи	Балл
Расчет освещенности, создаваемой фонариком на расстоянии $r$ + корректное определение площади, покрываемой светом фонаря, – площади полусферы	3+2
Расчет освещенности, соответствующей видимой визуальной звездной величине $m_y = 6^{\mathrm{m}}$ одним из 2-х способов	4
Вычисление расстояния $r_6$	4
Определение дальности прямой видимости	5
Корректный вывод о возможности наблюдения фонаря на расстоянии дальности прямой видимости	2

Время

На решение задач данного этапа Олимпиады участникам отводится 4 часа.

Основные справочные данные

§1. Основные физические и астрономические постоянные

Гравитационная постоянная – $G = 6.674\cdot10^{-11}$ м $^3\cdot$ кг $^{-1}\cdot c^{-2}$
Скорость света в вакууме – $c = 2.998\cdot10^{8}$ м/с
Универсальная газовая постоянная – $R = 8.31$ кг·м $^2\cdot$ с $^{-2}\cdot$ К $^{-1}\cdot$ моль $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана – $\sigma = 5.67\cdot10^{-8}$ кг·с $^{-3}\cdot$ К $^{-4}$
Масса протона – $m_p = 1.67\cdot10^{-27}$ кг
Масса электрона – $m_e = 9.11\cdot10^{-31}$ кг
Астрономическая единица – 1 а.е. $= 1.496\cdot10^{11}$ м
Парсек – 1 пк $= 206265$ а.е. $= 3.086\cdot10^{16}$ м
Световой год – 1 св. г. $= 9.461\cdot10^{15}$ м
Постоянная Хаббла – $H = 72$ км·с $^{-1}\cdot$ Мпк $^{-1}$

§2. Данные о Солнце

Радиус – $6.955\cdot10^{5}$ км
Масса – $1.989\cdot10^{30}$ кг
Светимость – $3.827\cdot10^{26}$ Вт
Спектральный класс – G2
Видимая визуальная звездная величина – $-26.74^m$
Видимая болометрическая звездная величина – $-26.80^m$
Абсолютная болометрическая звездная величина – $+4.83^m$
Показатель цвета (B-V) – $+0.67^m$
Эффективная температура – 5778 K
Средний горизонтальный параллакс – $8.794''$
Интегральный поток энергии на расстоянии Земли – 1360 Вт/м $^2$
Поток энергии в видимых лучах на расстоянии Земли – 600 Вт/м $^2$

§3. Данные о Земле

Эксцентриситет орбиты – 0.017
Тропический год – 365.24219 сут
Средняя орбитальная скорость – 29.8 км/с
Период вращения – 23 часа 56 минут 04 секунды
Наклон экватора к эклиптике на эпоху 2000.0 – $23^{\circ}\,26'\,21.45''$
Экваториальный радиус – 6378.14 км
Полярный радиус – 6356.77 км
Масса – $5.974\cdot10^{24}$ кг
Средняя плотность – 5.52 г·см $^{-3}$
Объемный состав атмосферы – N $_2$ (78%), O $_2$ (21%), Ar ( $\sim$ 1%)

§4. Данные о Луне

Среднее расстояние от Земли – 384400 км
Минимальное расстояние от Земли – 363300 км
Максимальное расстояние от Земли – 405500 км
Эксцентриситет орбиты – 0.055
Наклон плоскости орбиты к эклиптике – $5^{\circ}09'$
Сидерический (звездный) период обращения – 27.321662 сут
Синодический период обращения – 29.530589 сут
Радиус – 1738 км
Масса – $7.348\cdot10^{22}$ кг или 1/81.3 массы Земли
Средняя плотность – 3.34 г·см $^{-3}$
Визуальное геометрическое альбедо – 0.12
Видимая звездная величина в полнолуние $-12.7^m$

§5. Физические характеристики Солнца и планет

Планета	Масса, кг	Масса, массы Земли	Радиус, км	Радиус, радиусы Земли	Плотность, г·см $^{-3}$	Период вращения вокруг оси	Наклон экватора к плоскости орбиты, градусы	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^*$
Солнце	$1.989\cdot10^{30}$	332946	695500	108.97	1.41	25.380 сут	7.25	–	$-26.8^m$
Меркурий	$3.302\cdot10^{23}$	0.05271	2439.7	0.3825	5.42	58.646 сут	0.00	0.10	$-0.1$
Венера	$4.869\cdot10^{24}$	0.81476	6051.8	0.9488	5.20	243.019 сут $^{\dagger}$	177.36	0.65	$-4.4^m$
Земля	$5.974\cdot10^{24}$	1.00000	6378.1	1.0000	5.52	23.934 час	23.45	0.37	–
Марс	$6.419\cdot10^{23}$	0.10745	3397.2	0.5326	3.93	24.623 час	25.19	0.15	$-2.0^m$
Юпитер	$1.899\cdot10^{27}$	317.94	71492	11.209	1.33	9.924 час	3.13	0.52	$-2.7^m$
Сатурн	$5.685\cdot10^{26}$	95.181	60268	9.4494	0.69	10.656 час	25.33	0.47	$0.4^m$
Уран	$8.683\cdot10^{25}$	14.535	25559	4.0073	1.32	17.24 час $^{\dagger}$	97.86	0.51	$5.7^m$
Нептун	$1.024\cdot10^{26}$	17.135	24746	3.8799	1.64	16.11 час	28.31	0.41	$7.8^m$

$^*$ для наибольшей элонгации Меркурия и Венеры и среднего противостояния внешних планет;
$^{\dagger}$ – обратное вращение.

§6. Характеристики орбит планет

Планета	Большая полуось, млн. км	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Наклон к плоскости эклиптики, градусы	Период обращения	Синодический период, сут
Меркурий	57.9	0.3871	0.2056	7.004	87.97 сут	115.9
Венера	108.2	0.7233	0.0068	3.394	224.70 сут	583.9
Земля	149.6	1.0000	0.0167	0.000	365.26 сут	–
Марс	227.9	1.5237	0.0934	1.850	686.98 сут	780.0
Юпитер	778.3	5.2028	0.0483	1.308	11.862 лет	398.9
Сатурн	1429.4	9.5388	0.0560	2.488	29.458 лет	378.1
Уран	2871.0	19.1914	0.0461	0.774	84.01 лет	369.7
Нептун	4504.3	30.0611	0.0097	1.774	164.79 лет	367.5

§7. Характеристики некоторых спутников планет

Спутник	Масса, кг	Радиус, км	Плотность, г·см $^{-3}$	Радиус орбиты, км	Период обращения, сут	Геометрич. альбедо	Вид. звездная величина $^*$
Земля
Луна	$7.348\cdot10^{22}$	1738	3.34	384400	27.32166	0.12	$-12.7$
Марс
Фобос	$1.08\cdot10^{16}$	$\sim 10$	2.0	9380	0.31910	0.06	11.3
Деймос	$1.8\cdot10^{15}$	$\sim 6$	1.7	23460	1.26244	0.07	12.4
Юпитер
Ио	$8.94\cdot10^{22}$	1815	3.55	421800	1.769138	0.61	5.0
Европа	$4.8\cdot10^{22}$	1569	3.01	671100	3.551181	0.64	5.3
Ганимед	$1.48\cdot10^{23}$	2631	1.94	1070400	7.154553	0.42	4.6
Каллисто	$1.08\cdot10^{23}$	2400	1.86	1882800	16.68902	0.20	5.7
Сатурн
Тефия	$7.55\cdot10^{20}$	530	1.21	294660	1.887802	0.9	10.2
Диона	$1.05\cdot10^{21}$	560	1.43	377400	2.736915	0.7	10.4
Рея	$2.49\cdot10^{21}$	765	1.33	527040	4.517500	0.7	9.7
Титан	$1.35\cdot10^{23}$	2575	1.88	1221850	15.94542	0.21	8.2
Япет	$1.88\cdot10^{21}$	730	1.21	3560800	79.33018	0.20	$\sim 11.0$
Уран
Миранда	$6.33\cdot10^{19}$	235.8	1.15	129900	1.413479	0.27	16.3
Ариэль	$1.7\cdot10^{21}$	578.9	1.56	190900	2.520379	0.34	14.2
Умбриэль	$1.27\cdot10^{21}$	584.7	1.52	266000	4.144177	0.18	14.8
Титания	$3.49\cdot10^{21}$	788.9	1.70	436300	8.705872	0.27	13.7
Оберон	$3.03\cdot10^{21}$	761.4	1.64	583500	13.46324	0.24	13.9
Нептун
Тритон	$2.14\cdot10^{22}$	1350	2.07	354800	5.87685 $^{\dagger}$	0.7	13.5

$^*$ – для полнолуния или среднего противостояния внешних планет;
$^{\dagger}$ – обратное вращение.

§8. Формулы приближенного вычисления

\begin{aligned} &\sin x \approx \operatorname{tg} x \approx x;\\ &\sin(x \pm \alpha) \approx \sin\alpha \pm x\,\cos\alpha;\\ &\cos(x \pm \alpha) \approx \cos\alpha \mp x\,\sin\alpha;\\ &\operatorname{tg}(x \pm \alpha) \approx \operatorname{tg}\alpha \pm \frac{x}{\cos^2\alpha};\\ &(1 + x)^n \approx 1 + n\,x; \end{aligned}

здесь $x \ll 1$ , все углы выражаются в радианах.

Оригинал в Архива: [1-1]OMOA[7-9classes-2021-3Och]_Tasks.pdf · официални решения: [1-2] OMOA[7-9 classes-2021]_Solutions.pdf