СПбАО 2014, I кръг (задочен), 5–11 клас — Задача 11.5

• Да: звездная величина пятна около $-15^m$, оно остается самым ярким объектом на земном небе

Для того, чтобы ответить на вопрос задачи, нужно оценить видимую звездную величину пятна. Так как пятно и Солнце находятся от Земли на одном и том же расстоянии, то разность видимых звездных величин пятна и Солнца будет обеспечиваться отношением их светимостей: $\Delta m = m_{\odot} - m_{\text{п}} = -2.5\lg\frac{L_{\odot}}{L_{\text{п}}}$, где $m_{\odot} \approx -27^m$. Считая пятно абсолютно черным телом, можно сказать, что его светимость зависит от радиуса $R$ и температуры $T$ таким образом: $L \propto R^2T^4$.

Известно, что радиус Земли примерно в 100 раз меньше радиуса Солнца. Пятно кажется темным на фоне более яркой поверхности Солнца, потому что имеет меньшую температуру, чем окружающие области: температура пятен примерно в полтора-два раза меньше температуры обычной поверхности Солнца. Таким образом

следовательно, звездная величина пятна равна: $m_{\text{п}} = m_{\odot} - \Delta m = -27 - (-12) = -15^m$, что меньше звездной величины полной Луны. Видно, что пятно все равно остается самым ярким объектом на земном небе.

Можно рассуждать проще. Различие размеров пятна и Солнца в 100 раз и, следовательно, в площадях в $10^4$ раз дает разницу в звездных величинах, равную 10. Следовательно, чтобы пятно не было видно (т.е. его звездная величина была больше $6^m$), нужно получить разницу больше чем в 20 звездных величин (т.е. различие в светимостях в $10^8$ раз) за счет различия температур. Это значит, что температуры пятна и Солнца должны отличаться больше, чем в $\sqrt[4]{10^8} = 100$ раз, т.е. температура пятна должна быть меньше 60 K, что, очевидно, нелепо.

Важно отметить, что угловые размеры пятна в данном случае несущественны: требуется просто увидеть пятно, а не наблюдать его как протяженный объект. Например, угловые размеры всех звезд на небе (кроме, естественно, Солнца) намного меньше углового диаметра пятна (который составляет примерно $20''$), что никак не мешает нам их видеть.