СПбАО 2014, I кръг (задочен), 5–11 клас — Задача 11.4

• 19 восходов при движении по направлению вращения Земли; 17 — при движении против вращения

Из того факта, что скорость корабля мало отличается от первой космической для Земли, можно понять, что он летал по круговой орбите, радиус которой примерно равен радиусу Земли. Длина экватора Земли составляет около 40 тыс. км, так что продолжительность одного оборота вокруг Земли по низкой орбите равна примерно $4 \cdot 10^4/7.8/3600 \approx 1.4$ часа. Отсюда следует, что за время полета корабль успел совершить вокруг Земли 18 полных оборотов ($26/1.4 \approx 18.6$). Однако за это время Земля также успела совершить полный оборот вокруг своей оси (т.к. прошло чуть больше солнечных суток).

Если корабль двигался по направлению вращения Земли, то на каждом витке он оказывался в той же самой точке относительно Солнца чуть раньше, чем заканчивал полный виток по орбите. Следовательно, относительно Солнца он совершил на один оборот больше, чем относительно Земли, и тогда космонавт успел увидеть 19 восходов Солнца.

Напротив, если корабль двигался против направления вращения Земли, то космонавт увидел только 17 восходов.

Тот же самый результат можно получить, воспользовавшись формулой синодического движения:

где $T_{\text{К}\oplus}$ — период корабля относительно Земли, $T_{\text{К}\odot}$ — период корабля относительно Солнца, $T_{\oplus\odot}$ — период обращения Земли вокруг своей оси относительно Солнца (солнечные сутки); знак «−» ставится в случае сонаправленных движений, «+» — в случае противоположно направленных.

В случае движения корабля по вращению Земли $T_{\text{К}\odot} \approx 1.32$ и, следовательно, относительно Солнца корабль успевает сделать 19 полных оборотов, а в обратном случае $T_{\text{К}\oplus} \approx 1.49$ и 17 полных оборотов относительно Солнца.

Примечание. Участник должен либо рассмотреть оба варианта движения корабля: как по вращению Земли, так и против, либо явно указать, что корабли практически всегда запускаются по вращению и можно рассматривать только этот вариант.