СПбАО 2023, II кръг (очен), 10. клас, файл pract.pdf — Задача 1

• $\varphi \approx 54^{\circ}$, $\lambda \approx 6^{\circ}45'$ (восточной долготы)

  Из официального решения. Фактические координаты Нидерландского Института Радиоастрономии, приведенные в решении: 52°49′ северной широты, 6°24′ восточной долготы.

Ясно, что темная область в виде «песочных часов» олицетворяет ночное время, а светло-серая (голубая в случае цветного изображения) — дневное время. Зима, как это следует из вертикальной оси, приходится на декабрь, январь и февраль (ночи длиннее), то есть пункт наблюдения находится в северном полушарии Земли.

Сначала проще всего объяснить светлые наклонные полосы: это Луна. Действительно, самих полосок 12, лучше всего (полоски ярче) Луна видна в зимнее время (когда ночи темнее). Дадим объяснение наличию наклона и толщины этих полос, например, для конца января.

В третьей декаде января Луна начала ненадолго появляться на вечернем небе (в левой части «песочных часов») в фазе около первой четверти, что объясняет заметное отличие освещенности неба на меридиане. Затем, примерно через неделю, Луна уже в фазе полнолуния, поэтому освещенность от нее больше. Кроме того, для фотокамеры она еще и видна позже из-за того, что восходит из-за горизонта позже. Еще примерно через неделю Луну можно наблюдать лишь в утренние часы (в правой части «песочных часов»), и освещенность от нее меньше, чем в полнолуние. Поэтому она меняет освещенность неба лишь в утренние часы.

Как следует из объяснения, Луна в принципе на ночном небе может быть видна в течение примерно двух недель. Именно поэтому толщина полоски и составляет примерно половину месяца.

Самое узкое темное место «песочных часов» соответствует дню летнего солнцестояния, самое широкое — дню зимнего солнцестояния. Однако можно заметить, что в случае дня зимнего солнцестояния уширение «песочных часов» заметно несимметричное (и вся фигура темной области): в районе 10 декабря восходы Солнца происходят раньше, чем 23 декабря, а самые поздние заходы наблюдаются в январе. Это связано с эллиптичностью орбиты Земли и наличием наклона эклиптики к небесному экватору. Проще говоря — с уравнением времени.

По этим датам можно провести границы ночи и тем самым определить момент полуночи: он приходится примерно на $0^h30^m$ – $0^h35^m$ (в зависимости от погрешности измерений). Если бы полночь приходилась ровно на $0^h00^m$, то при учете часового пояса можно было бы утверждать, что долгота пункта наблюдения соответствует $15^{\circ}$ восточной долготы. Однако раз астрономическая полночь наступает позже, то от указанной величины нужно отнять

и долгота расположения камеры лежит в диапазоне $[6^{\circ}15'; 7^{\circ}30']$ восточной долготы.

Для нахождения широты придется воспользоваться методами сферической астрономии. Нарисуем небесную сферу с восточной части (будем рассматривать восходящее Солнце, так как на кеограмме справа именно эти моменты измерять удобнее).

Напишем теорему косинусов для параллактического треугольника $PZ\odot$ в общем виде:

Сразу видно, что решать такое уравнение в общем виде относительно $\varphi$ при отсутствии калькулятора — плохая затея, поскольку получающееся квадратное уравнение надо решить как можно точнее. Подумаем, как можно упростить нахождение широты.

Вариант 1, неправильный: рассмотреть случай, когда высота Солнца равна нулю. Самое простое предположение — считать, что граница темной и светлой областей на кеограмме соответствует моментам захода или восхода Солнца ($h = 0^{\circ}$). Тогда проще всего взять даты летнего и зимнего солнцестояний. В этом случае широта определяется через тангенс:

Измерения показывают, что половина «светлого времени суток» в день летнего солнцестояния длится $10^h25^m$ (склонение Солнца $\delta = 23^{\circ}.4$), а в день зимнего — $5^h00^m$ ($\delta = -23^{\circ}.4$). Измерения можно проводить как для непосредственно для светлой области, так и для темной области (а потом из $24^h$ вычитать длительность темной области и делить пополам). Все измерения приведены на изображении.

Итак, если интерпретировать границу раздела темной и светлой областей как момент захода Солнца, то результаты не согласуются друг с другом.

Отсюда напрашивается вывод: граница раздела темной и светлой областей — это не момент захода Солнца, а окончание сумерек для камеры. Но по кеограмме невозможно определить, когда конкретно Солнце восходит из-за горизонта или заходит за него.

Вариант 2: обнулить одно из слагаемых в правой части. Это можно сделать двумя путями, рассмотрев один из дней равноденствия (тогда склонение Солнца равно нулю, и первое слагаемое станет нулем, для примера показано весеннее равноденствие). Также можно было бы найти дату, в которую часовой угол Солнца в момент начала или окончания сумерек будет равен $6^h$, что даст $\cos t = 0$ (это может быть в районе середины февраля или начала ноября). Однако, в этом случае величина склонения Солнца будет очень близка к глубине погружения Солнца под горизонт, из-за чего погрешность определения результата будет весьма велика. Так что сочтем этот метод наименее точным и не будем его рассматривать.

Согласно графику освещенности, камера станет плохо фиксировать излучение неба в случае погружения Солнца под горизонт на $11^{\circ}$ (навигационные сумерки заканчиваются, когда погружение Солнца $12^{\circ}$, но по условию чувствительность камеры падает раньше). Соответственно, это и будет определять разделение светлого и темного времени суток на кеограмме.

В день осеннего равноденствия в момент окончания сумерек часовой угол Солнца составляет $7^h15^m = 108^{\circ}.75$. Вычисляем:

Вариант 3: длительность сумерек. Заметим, что в день весеннего равноденствия сумерки для камеры длятся $1^h15^m$. За это время Солнце проходит по небу (находясь строго на небесном экваторе) $\approx 19^{\circ}$, хотя стартует от высоты $-11^{\circ}$. Таким образом, траектория Солнца составляет угол $\cos\varphi = 11^{\circ}/19^{\circ} \Rightarrow \varphi \approx 54^{\circ}$. Обратим внимание, что эти вычисления практически идентичны тем, что были реализованы в варианте 2.

Итак, любой из вариантов дает положение пункта наблюдения $\varphi \approx 54^{\circ}$, $\lambda \approx 6\ {}^{\circ}45'$.

Автор кеограммы — голландский астроном Cees Basa, получена она в Нидерландском Институте Радиоастрономии. Координаты главного здания этого института составляют $52^{\circ}49'$ северной широты, $6^{\circ}24'$ восточной долготы.

В.В.Григорьев