Съдържание

СПбАО 2023, II кръг (очен), 10. клас, файл theo.pdf — Задача 5

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от СПбАО 2023

XXX Санкт-Петербургская астрономическая олимпиада, 2023, 12 февраля, теоретический тур, решения

Условие

Два друга-астронома наблюдают один и тот же объект в любительские телескопы. Аркадий находится на северном берегу Ладожского озера ( $\varphi = 62°, \lambda = 31°$ ), и для Аркадия объект едва выглядывает из-под горизонта в направлении на юг. Василий проводит наблюдения на горе Верблюд высотой 885 метров ( $\varphi = 44°, \lambda = 43°$ ). На какой максимальной высоте над видимым горизонтом увидит этот объект Василий? Насколько раньше (или позже) по сравнению с Аркадием увидит объект Василий? Влиянием атмосферы можно пренебречь.

Отговори

Решение

Если для Аркадия в направлении на юг светило едва видно, это означает, что даже в верхней кульминации высота светила примерно равна нулю. Оценим склонение светила из этих данных:

h_{ВК} = 90° - \varphi + \delta, \quad 0 = 90° - 62° + \delta, \quad \delta = -28°.

Для Василия наибольшая высота объекта над горизонтом составит

h_{ВК} = 90° - \varphi + \delta = 90° - 44° - 28° = 18°.

Определим часовой угол точки захода светила:

\cos t = -\operatorname{tg}\varphi \operatorname{tg}\delta.

Можем считать, что $\operatorname{tg} 44° \approx 1$ , $\operatorname{tg}(-28°) \approx -\operatorname{tg} 30° = -1/\sqrt{3} \approx -0.57$ . Отсюда $\cos t = 0.57$ . Угол $t$ немного меньше $60°$ , можно в качестве оценки взять $55° = 3^h 40^m$ .

Для Василия верхняя кульминация звезды произойдет на $(43° - 31°) \cdot 4 = 48^m$ раньше, чем для Аркадия. Восход произойдет еще за $3^h 40^m$ до этого, то есть Василий увидит объект раньше Аркадия примерно на 4.5 часа.

Оценим также, требуется ли учитывать то, что Василий ведет наблюдения на горе — каково понижение горизонта при наблюдении с такой высоты?

Соответствующая задача настолько часто встречается, что, наверное, приводить ее полное решение не стоит (его можно посмотреть, например, в 5-й задаче теоретического тура параллели 9 класса прошлого года), достаточно лишь сформулировать ответ: искомый угол в радианах выражается как $\sqrt{2h/R_\oplus}$ . Подставив числовые данные, получим $\sqrt{\frac{1.8 \cdot 10^3}{6.4 \cdot 10^6}} \approx \sqrt{1/3600} = 1/60$ . Иначе говоря, даже если гора Верблюд находится на совершенно ровной местности, расположенной на уровне моря (что в реальности не так, перепад высот составляет около 0.5 км), понижение горизонта окажется около $1°$ , то есть примерно такое же, как погрешность исходных данных задачи. Следовательно, учет этого обстоятельства не требуется.

Комментарии: Учет понижения горизонта сам по себе не приводил к увеличению или снятию баллов, но при условии, что он был выполнен верно или хотя бы правдоподобно. Если участник получал понижение около $15°$ , баллы за это снимались.

А.В.Веселова

Оригинал в Архива: theo.pdf