Съдържание

СПбАО 2023, II кръг (очен), 10. клас, файл theo.pdf — Задача 4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от СПбАО 2023

XXX Санкт-Петербургская астрономическая олимпиада, 2023, 12 февраля, теоретический тур, решения

Условие

Один из астероидов семейства Атона, обнаруженный при максимальном сближении с Землей (произошедшем в январе 2003 года), обращается вокруг Солнца по практически круговой орбите с большой полуосью, чуть меньшей 1 а.е. Следующее его максимальное сближение с Землей ожидается в июле 2097 года. Найдите большую полуось орбиты этого астероида с погрешностью не более $10^{-3}$ а.е.

Отговори

Решение

Интервал времени между сближениями — это попросту синодический период астероида $S$ . Поскольку мы знаем, что сидерический период астероида $P$ чуть меньше одного года ( $P_\oplus = 1$ ), то мы можем написать соотношение между периодами в виде

\frac{1}{S} = \frac{1}{P} - \frac{1}{P_\oplus},

откуда

P = \frac{1}{1 + \frac{1}{S}}.

Периоды у нас уже выражены в годах, большую полуось надо найти в астрономических единицах, так что используем III закон Кеплера в его простейшем виде и получаем

a = \left(\frac{1}{1 + \frac{1}{S}}\right)^{2/3}.

В этот момент задача перестает быть тривиальной: результат надо получить с довольно высокой точностью и без калькулятора. Кажется, что это нелегко, но нам очень сильно поможет то, что синодический период большой, он, как несложно посчитать, равен $S = 94.5$ года, а обратная к нему величина, $1/S$ , наоборот, маленькая.

Вспомним, что

(1+x)^\alpha \approx 1 + \alpha x, \quad \text{если } x \approx 0

(интересно, что это приближение из года в год печатается в справочных данных различных этапов Всероссийской олимпиады по астрономии, но на него и его соседей обычно не обращают внимание, сразу же хватаясь за калькулятор — а зря). Мы воспользуемся им для $\alpha = -2/3$ . Тогда

a = \left(\frac{1}{1 + \frac{1}{S}}\right)^{2/3} = \left(1 + \frac{1}{S}\right)^{-2/3} \approx 1 - \frac{2}{3S}.

Вычислим, насколько большая полуось отличается от единицы:

\frac{2}{3S} = \frac{2}{3 \cdot 94.5} \approx 0.007,

причем несложно заметить, что с точностью до тысячной результат не изменится, даже если мы округлим $S$ до 90 или до 100 лет. Отсюда получаем нужный нам ответ с требуемой точностью: большая полуось равна 0.993 а.е.

Осталось только сказать, что это за объект. Данные из условия в точности соответствуют околоземному астероиду 2002 AA29, большая полуось орбиты которого равна 0.9926 а.е. Реальная погрешность использованных нами приближений — $3 \cdot 10^{-4}$ а.е.

Комментарии: «Теоретическая» часть задачи состоит из двух с половиной тривиальных для 10 класса фактов: III закона Кеплера в простейшей форме и формулы синодического периода (еще половина — правильное раскрытие модуля в последней формуле), поэтому решение, в котором «все сделано в формульном виде», оценивалась не более чем 3 баллами. Все остальное — за вычисление результата, причем проделанное не на черновике, а непосредственно в работе. В частности, ответ, полученный в виде обыкновенной дроби, с сохраненными корнями и т.п. приводил к снятию баллов.

П.А.Тараканов

Оригинал в Архива: theo.pdf