СПбАО 2023, II кръг (очен), 10. клас, файл theo.pdf — Задача 3

• 0.03 угл. сек.

  Оценочный ответ, реальное значение около 0''.02

Попробуем систематизировать то, что мы знаем об Антаресе. Это красный гигант спектрального класса M, его эффективную температуру можно оценить как $T \approx 3 \cdot 10^3$ К. Это одна из самых ярких звезд неба, хоть и не самая яркая, видимая звездная величина в оптическом диапазоне около $+1^m$.

Теперь можно решать задачу. Запишем соотношение между светимостью $L$, радиусом $R$ и температурой $T$ для Антарес и для Солнца:

Учтем, что освещенность, создаваемая звездой, выражается через ее светимость и расстояние до нее $r$ как $E = \frac{L}{4\pi r^2}$ и получим

Поскольку $R/r$ — это угловой радиус звезды (в радианах), то для угловых диаметров $\beta$ можно записать соотношение

Теперь для удобства вычислений возьмем десятичный логарифм от обеих частей равенства, а заодно умножим их на 2.5. Получим

Приглядевшись к левой части равенства, можно заметить, что это разность видимых звездных величин Солнца и Антареса (именно в таком порядке, поскольку там не было знака минус), а отношение температур $T/T_\odot \approx 1/2$. Поэтому

Тут уже можно начать подставлять числовые данные, но для начала стоит учесть еще одно обстоятельство. Антарес — холодный, светится он в основном в инфракрасном диапазоне, а это означает, что его болометрическая видимая звездная величина должна быть меньше $+1^m$ (для Солнца аналогичный эффект невелик и им можно пренебречь). Можно предположить, что болометрическая звездная величина равна примерно $0^m$. Тогда, учитывая, что $\lg 10 \approx 0.3$, получим

и

откуда

Оценить числитель дроби справа, хотя он и выглядит неприятно, несложно. Как известно, $\sqrt[5]{100} \approx 2.512$. Следовательно, $\sqrt[5]{10} \approx \sqrt{2.512}$. Поскольку $256 = 16^2$, искомое число примерно равно 1.6.

Осталось вспомнить, что угловой диаметр Солнца немного больше $30'$, то есть $2 \cdot 10^3$ угловых секунд. Тогда

В реальности получается $0''.02$, и связано это с тем, что мы недооценили температуру Антареса, она ближе к $3.4 \cdot 10^3$ К (а заодно, наоборот, переоценили температуру Солнца). Если учесть это обстоятельство, вычисления станут даже чуть проще (множитель 1.6 фактически пропадет) и результат окажется идеально совпадающим с действительностью).

Комментарии: Стандартное рассуждение про то, что из-за атмосферной турбулентности диск Антареса будет иметь размеры около $1''$, при грамотном изложении оценивалось 1 баллом. Участники, «совершенно случайно» помнившие расстояние до Антареса и его линейный радиус с 2-3 значащими цифрами, получают за задачу 0 баллов.

П.А.Тараканов