Съдържание

СПбАО 2023, II кръг (очен), 10. клас, файл theo.pdf — Задача 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от СПбАО 2023

XXX Санкт-Петербургская астрономическая олимпиада, 2023, 12 февраля, теоретический тур, решения

Условие

Вокруг звезды обращается экзопланета, похожая по параметрам на Землю, орбитальный период которой равен 73 суткам. Оцените максимально возможный эксцентриситет ее орбиты. Абсолютная звездная величина звезды равна $-0^m.6$ , температура $3.4 \cdot 10^3$ К, гравитационное ускорение на ее поверхности равно 0.7 м/с $^2$ .

Отговори

Решение

Определим светимость звезды. По формуле Погсона для данной звезды и для Солнца

M_\odot - M = 2.5 \lg L/L_\odot,

поэтому

L = L_\odot \cdot 10^{0.4 \cdot (M_\odot - M)}

Сравнивая ее с Солнцем, напишем

\frac{L}{L_\odot} = \left(\frac{R}{R_\odot}\right)^2 \cdot \left(\frac{T}{T_\odot}\right)^4,

откуда

\frac{R}{R_\odot} = 10^{0.2 \cdot (M_\odot - M)} \cdot \left(\frac{T_\odot}{T}\right)^2,

Ускорение свободного падения на поверхности звезды можно выразить как $g = \frac{G\mathfrak{M}}{R^2}$ , где $G$ — гравитационная постоянная.

Определим большую полуось орбиты из третьего закона Кеплера, сравнив данную систему с Солнечной: $P^2/a^3 = 1/\mathfrak{M}$ , где период обращения $P$ выражен в годах, большая полуось $a$ — в астрономических единицах, масса звезды $\mathfrak{M}$ — в массах Солнца. Тогда большая полуось равна $a = (\mathfrak{M} \cdot P^2)^{1/3}$ . Перицентрическое расстояние орбиты планеты не должно быть меньше радиуса звезды: $a(1-e) \geqslant R$ , а в предельном теоретическом случае может совпадать с ним $a(1-e) = R$ , отсюда $e = 1 - R/a$ .

Для удобства вычислим отношение $R/a$ , воспользовавшись уже имеющимися результатами:

\frac{R}{a} = \frac{R}{(\mathfrak{M} \cdot P^2)^{1/3}} = \frac{R}{\left(\frac{gR^2}{G} \cdot P^2\right)^{1/3}} = \sqrt[3]{\frac{GR}{gP^2}} = \sqrt[3]{\frac{GR_\odot \cdot 10^{0.2 \cdot (M_\odot - M)} \cdot \left(\frac{T_\odot}{T}\right)^2}{gP^2}}

Некоторой проблемой является то, что мы получили результат в конкретной, так называемой «звездноастрономической» системе единиц, а часть данных в него нам надо подставлять в СИ. Однако все не так страшно. Хорошо известно (а если нет, то это легко получить, записав III закон Кеплера для системы Солнце–Земля), что в этой системе единиц $G = 4\pi^2 \approx 40$ . Радиус Солнца в ней же — это попросту угловой радиус Солнца в радианах, то есть

R_\odot \approx \frac{\pi}{180} \cdot \frac{16}{60} \approx 5 \cdot 10^{-3}

(кстати, помнить, что диаметр Солнца — это с неплохой точностью 1/100 а.е., бывает полезно; тот же результат, конечно, можно получить, просто зная радиус Солнца в метрах и величину астрономической единицы в них же).

Сложнее всего с ускорением свободного падения, выраженном в СИ. Однако

\frac{1\ \text{м}}{1\ \text{с}^2} = \frac{\frac{1}{1.5 \cdot 10^{11}}}{\left(\frac{1}{3 \cdot 10^7}\right)^2}\ \text{а.е./год}^2 = 6 \cdot 10^3\ \text{а.е./год}^2,

поэтому в интересующей нас системе единиц $g = 0.7 \cdot 6 \cdot 10^3 = 4 \cdot 10^3$ .

Период 73 дня — это $73/365 = 0.2$ года. Осталось только отношение температур, которое, поскольку является отношением, ни во что дополнительное переводить не надо:

\left(\frac{T_\odot}{T}\right)^2 = \left(\frac{5.8 \cdot 10^3}{3.4 \cdot 10^3}\right)^2 = \left(\frac{5.8}{3.4}\right)^2 \approx 1.7^2 \approx 3.

Теперь мы готовы вычислить результат:

e = 1 - \frac{R}{a} = \sqrt[3]{\frac{40 \cdot 5 \cdot 10^{-3} \cdot 10^{0.2 \cdot (4.8+0.6)} \cdot 3}{4 \cdot 10^3 \cdot 4 \cdot 10^{-2}}} \approx 1 - \sqrt[3]{\frac{15}{4} \cdot 10^{-3}} \approx 1 - \sqrt[3]{\frac{4 \cdot 10^3}{10^{-6}}} = 1 - 0.16 = 0.84.

Комментарии: Из-за множества вычислений итоговый ответ мог сильно различаться, поэтому довольно много получили хорошие баллы без сходства с авторским ответом. Критерии, согласно авторскому решению: формула для радиуса звезды — 2 балла, формула для массы через $g$ — 1 балл, понимание ограничения на эксцентриситет — 1 балл, выражение для большой полуоси — 2 балла, «компоновка» в итоговую формулу — 1 балл, итоговый ответ — 1 балл.

Однако большинство участников считало численно каждый этап, и поэтому вычисление светимости звезды — 1 балл, радиуса звезды — 2 балла, массы звезды — 1 балл, большой полуоси — 2 балла. Понимание ограничения и итоговый результат оцениваются по 1 баллу. За грубую вычислительную ошибку в этапе снимался 1 балл без влияния на следующие этапы.

В числе очень частых ошибок было получение абсурдных ответов (например, масса звезды на пару порядков меньше массы Солнца, например). В таком случае весь этап обнулялся.

Также зачастую участники, получив светимость в $10^{2.15}$ солнечной, округляли это число до 100. Это ошибкой не считалось и баллы не снимались.

А.В.Веселова, П.А.Тараканов

Оригинал в Архива: theo.pdf