СПбАО 2023, II кръг (очен), 11. клас, файл theo.pdf — Задача 1
XXX Санкт-Петербургская астрономическая олимпиада — 2023 — теоретический тур, 11 класс
XXX Санкт-Петербургская астрономическая олимпиада
12 февраля 2023. Теоретический тур, решения. 11 класс.
Условие
Оцените минимально необходимое время, за которое при проведении наземных наблюдений с использованием радиоинтерферометра со сверхдлинной базой можно будет обнаружить аберрацию, связанную с движением Солнечной системы вокруг центра Галактики.
Решение
В простейшей теории аберрации, полученной еще в XVIII веке Джеймсом Брэдли (Брадлеем), аберрационный угол σ зависит от скорости наблюдателя V и угла между направлением движения наблюдателя и направлением на объект θ как
Тут σ выражен в радианах, c — скорость света.
Поскольку нас интересует максимально возможный эффект, то можно считать, что наблюдаем мы объекты у полюсов Галактики, соответственно, sin θ ≈ 1. Скорость движения Солнца вокруг центра Галактики около км/с, отсюда можно легко вычислить аберрационный угол. Можно упростить себе вычисления, вспомнив, что годичная аберрация (связанная с движением Земли вокруг Солнца с орбитальной скоростью около 30 км/с) — это около 20″ , а в данном случае скорость в 7 раз больше, следовательно, и аберрационный угол должен оказаться в то же число раз больше. Так или иначе получаем, что σ ≈ 2′ .5.
Казалось бы, для обнаружения эффекта нужно просто один раз пронаблюдать какой-нибудь внегалактический радиоисточник — угол большой, требуемое разрешение на сантиметровых длинах волн обеспечит даже не интерферометр, а один крупный радиотелескоп. Однако сложность в том, что на такой угол переместятся все радиоисточники, и понять, наблюдаем мы аберрацию или нет, мы не сможем.
Поэтому ситуация несколько сложнее — нам требуется обнаружить не однократное смещение объектов на небе, а изменение этого смещения, которое существенно меньше. Тут надо задуматься, какое угловое разрешение нам в принципе доступно. Соответствующую оценку можно и получить, воспользовавшись стандартной формулой β ≈ λ/D и предположив, что λ ≈ 1 см (с массовыми и длительными наблюдениями на меньших длинах волн возникнут сложности), а D — максимальный доступный нам размер интерферометра, находящегося на Земле (тогда это величина порядка 10 тысяч км — примерно диаметр Земли, в реальности немного меньше из-за того, что не в любой точке земного шара можно поставить радиотелескоп). Тогда
За время одного оборота Солнца вокруг центра Галактики (а это около лет) радиоисточники в районе полюса Галактики опишут на небе окружность с уже известным нам радиусом 2′ .5. Наша задача — определить время, за которое источники сдвинутся на 0″ .0002. Оно легко вычисляется:
Можно отметить, что оценка получилась правильной. В реальности соответствующий эффект сравнительно недавно удалось выделить по данным как раз примерно 40-летних наблюдений.
Комментарии
3 балла выставлялись за правильный подсчет величины аберрации (при отсутствии серьезных недостатков дальнейшего).
Типовая ошибка: предположение, что за время наблюдений радиус-вектор положения Солнца относительно центра Галактики должен повернуться на угол, соответствующий предельному разрешению интерферометра. Это (при отсутствии других ошибок) приводило к существенно заниженному ответу и оценивалось примерно 5 баллами.
Также, увы, типовой случай, когда общая идея решения понята правильно, но при этом вычисления никуда не годятся — 4 балла.
Решения, в которых использовалась длина волны от 1 мм до 1 см, засчитывались как правильные (может быть, 1 мм в совокупности с другими огрехами приводил к снятию 1 балла). Практически такие наблюдения в миллиметровом диапазоне являются большой технической проблемой (и фактически первый проект такого рода — EHT, реализованный в последние годы), но это достаточно нетривиальный факт, незнание которого прощалось.
Но вот выбор в качестве длины волны 1 м (а то и 10 м) — это уже ошибка, приводившая к снятию баллов. Требовалось оценить минимально необходимое время, а не время, получающееся при выборе заведомо неразумных условий наблюдения.
К очень сильным потерям баллов (зачастую до нуля) приводили попытки считать, что радиоинтерферометр наблюдает на длинах волн, соответствующих оптическому диапазону, предполагать, что угловое разрешение в любом случае не будет лучше 1″ «из-за земной атмосферы» и т.п. Чуть меньше баллов потеряли те, кто не прочитал в условии задачи слово «наземных» и предполагал, что база интерферометра больше диаметра Земли.
П.А.Тараканов
Теми и трудност
Трудност: неоценена.
Небесна механика · Закони на Кеплер
Предпоставки: Разширена олимпиадна подготовка
Оригинал в Архива: theo.pdf