Съдържание

СПбАО 2023, II кръг (очен), 11. клас, файл theo.pdf — Задача 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от СПбАО 2023

XXX Санкт-Петербургская астрономическая олимпиада — 2023 — теоретический тур, 11 класс · 8 т.

XXX Санкт-Петербургская астрономическая олимпиада

12 февраля 2023. Теоретический тур, решения. 11 класс.

Условие

Звезда с видимой звездной величиной $4^m$ находится на расстоянии 100 пк от Солнца. Температура звезды по оценкам составляет $15\cdot10^3$ К, масса равна 5 массам Солнца, болометрическая поправка для звезды равна $-1^m.5$ . Известно, что скорость вращения звезды на экваторе составляет $2.0\cdot10^2$ км/с. Оцените разность между экваториальным и полярным радиусами звезды.

Решение

Определим радиус звезды. Для этого сначала определим светимость, а затем воспользуемся законом Стефана–Больцмана. Абсолютную звездную величину оценим по известной видимой звездной величине и расстоянию:

M=m+5-5\lg r=4+5-5\lg100=-1.

Светимость определим, сопоставив параметры звезды и Солнца по формуле Погсона:

L=L_\odot\cdot10^{0.4(M_\odot-M-\mathrm{BC})}=L_\odot\cdot10^{0.4(5+1+1.5)}=10^3L_\odot.

По закону Стефана-Больцмана светимость связана с радиусом звезды и ее температурой как

L=4\pi R^2\sigma T^4.

Записав это соотношение для Солнца и звезды, получим оценку радиуса в радиусах Солнца:

\frac L{L_\odot}=\left(\frac R{R_\odot}\right)^2\cdot\left(\frac T{T_\odot}\right)^4,

откуда

\frac R{R_\odot}=\sqrt{\frac L{L_\odot}}\cdot\left(\frac{T_\odot}T\right)^2=10^{3/2}\cdot\left(\frac6{15}\right)^2\approx30\cdot\frac4{25}\approx5.

Отсюда радиус звезды будет равен $5R_\odot$ . Поверхность звезды должна быть эквипотенциальной, то есть являться поверхностью с одинаковым потенциалом во всех точках. Тогда в первом приближении равенство потенциалов на полюсе и на экваторе с учетом как гравитационного, так и центробежного потенциалов будет иметь вид

-\frac{GM}R=-\frac{GM}{R+\Delta R}-\frac{v^2}2.

Преобразуем это равенство к виду

\frac{GM}R\left(1-\frac1{1+\Delta R/R}\right)=\frac{v^2}2

и, учитывая, что сжатие не должно быть очень большим (то есть $\Delta R\ll R$ ), приблизим скобку в левой части как

1-\frac1{1+\Delta R/R}\approx1-1+\Delta R/R=\frac{\Delta R}R.

Отсюда (подставляя параметры в СИ)

\Delta R=\frac{R^2v^2}{2GM}=\frac{(5\cdot7\cdot10^8)^2\cdot(2\cdot10^5)^2}{2\cdot7\cdot10^{-11}\cdot5\cdot2\cdot10^{30}}=3.5\cdot10^8\ \text{м}.

Это соответствует сжатию 10%, сжатие реальной звезды с близкими параметрами составляет около 7%.

Самая распространенная ошибка была в том, что участники приравнивали силы на полюсе и экваторе, а не потенциал. Кто-то находил радиус заезды через соотношение для главной последовательности, кто то через 1-ю космическую скорость на экваторе (шаблон для подобного рода задач).

А.В.Веселова

Теми и трудност

Трудност: неоценена.

Звезди · Свойства на звездите

Предпоставки: Разширена олимпиадна подготовка

Оригинал в Архива: theo.pdf

Съдържание

СПбАО 2023, II кръг (очен), 11. клас, файл theo.pdf — Задача 2

Условие

Решение

Комментарии