Съдържание

СПбАО 2023, II кръг (очен), 11. клас, файл theo.pdf — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от СПбАО 2023

XXX Санкт-Петербургская астрономическая олимпиада — 2023 — теоретический тур, 11 класс

XXX Санкт-Петербургская астрономическая олимпиада

12 февраля 2023. Теоретический тур, решения. 11 класс.

Условие

Находящиеся рядом с поверхностью нейтронной звезды электроны, двигаясь в магнитном поле, поглощают тепловое излучение звезды на циклотронной частоте, в результате чего в рентгеновском диапазоне в наблюдаемом спектре звезды появляется линия поглощения, соответствующая энергии фотонов $8\cdot10^2$ эВ. Определите индукцию магнитного поля нейтронной звезды, если известно, что ее масса равна $1.4\mathfrak M_\odot$ , а радиус равен 10 км.

Решение

Циклотронная частота — это частота обращения заряженной частицы по окружности (или спирали) в магнитном поле. Вычислим ее, считая, что частица — электрон с зарядом e, движется она по окружности, перпендикулярной магнитным силовым линиям, со скоростью v, магнитное поле имеет индукцию B.

Сила Лоренца в таком простейшем случае F = e v B, она создает центростремительное ускорение

w=\frac{evB}m=\frac{v^2}r,

где m — масса электрона, а r — радиус окружности, по которой он движется. Отсюда находим радиус

r=\frac{mv}{eB}.

Тогда искомая частота, обратная периоду движения по окружности, вычисляется как

\nu=\frac v{2\pi r}=\frac{eB}{2\pi m}.

Поскольку энергия фотонов ε = hν, где h — постоянная Планка, по имеющимся данным можно найти индукцию B:

B=\frac{2\pi m\varepsilon}{he}.

Однако есть один подвох. Нейтронная звезда — объект массивный и компактный, то, что линия поглощения наблюдалась с некоторым значением энергии, не означает, что непосредственно рядом с нейтронной звездой энергия была такой же: при выходе из гравитационной потенциальной ямы фотоны испытывают гравитационное красное смещение. Гравитационное красное смещение, оно же относительное изменение частоты (оно же относительное изменение энергии фотона) можно вычислить, воспользовавшись формулой

z=\frac{\Delta\nu}\nu=\frac{\Delta\varepsilon}\varepsilon=\frac{GM}{c^2R}.

Вычисления станут проще, если учесть, что $z=\frac{R_g}{2R}$ и вспомнить относительно известный факт: гравитационный радиус Rg для одной массы Солнца составляет примерно 3 км. Тогда

z=\frac{1.4\cdot3}{2\cdot10}\approx0.2,

впрочем, тот же результат получится и при прямой подстановке параметров в формулу для гравитационного красного смещения.

Это означает, что наблюдаемая энергия циклотронной линии уменьшилась на 20% по сравнению с исходной, а исходная равнялась $\varepsilon=10\cdot10^2=10^3$ эВ. Теперь можно вычислить итоговый ответ, подставляя в него данные в СИ:

B=\frac{2\pi m\varepsilon}{he}=\frac{2\cdot3\cdot9\cdot10^{-31}\cdot10^3\cdot1.6\cdot10^{-19}}{7\cdot10^{-34}\cdot1.6\cdot10^{-19}}\approx8\cdot10^6\ \text{Тл}.

Полезно отметить, что заряд электрона и константа, возникающая при переводе электрон-вольт в джоули, удачно сокращаются (поскольку численно равны друг другу).

Перед решением задачи было полезно вспомнить характерную величину магнитного поля Земли или Солнца — порядка $10^{-4}$ Тл — и учесть, что магнитное поле нейтронных звезд существенно сильнее. Поэтому получение ответа вроде $10^{-12}$ Тл, даже если в процессе появлялись какие-то разумные соображения, в подавляющем большинстве случаев снижало оценку до 0.

При решении задачи не стоило на каждом шаге вычислять промежуточные значения (разве что делать прикидки для себя). Почти всегда это приводило к лишним умножениям и делениям на заряд электрона и постоянную Планка, и крайне мало кто из занявшихся этими упражнениями в арифметике смог проделать их без ошибок.

Попытки записать уравнение движения электрона под действием одновременно силы Лоренца и силы гравитации, как правило, приводили к ситуации «предпринята попытка решения, не давшая результата» (и примерно 2 баллам в случае, если получившееся имело физический смысл). В некоторых случаях, с помощью ошибок в промежуточных выкладках, из такого решения удавалось «вытащить» величину магнитной индукции, после чего результат, как правило, обнулялся из-за заведомого несоответствия полученного значения здравому смыслу,

Не менее часто, увы, встречались решения типа «сила Лоренца равна силе гравитационного притяжения к звезде» (без каких-либо обоснований подобного предположения), и они оценивались 0 баллов.

Полное и численно правильное решение задачи без учета гравитационного красного смещения оценивалось 5–6 баллами (в зависимости от внятности описания хода решения).

Результаты в генри, веберах и т.п., если и в реальности вычислялась соответственно индуктивность или магнитный поток, как правило, давали в итоге 0. Если же путаница сводилась только к названию единиц измерения, то это приводило к дополнительной потере 1-2 баллов.

Очень хотелось снять балл-другой за избыточную точность в остальных отношениях правильном решении, но когда выяснилось, что это одна из двух работ, в которых задача решена, было решено этого не делать. Однако же пользоваться экспоненциальной формой записи чисел все же стоит.

П.А.Тараканов

Теми и трудност

Трудност: неоценена.

Звезди · Свойства на звездите

Предпоставки: Разширена олимпиадна подготовка

Оригинал в Архива: theo.pdf

Съдържание

СПбАО 2023, II кръг (очен), 11. клас, файл theo.pdf — Задача 3

Условие

Решение

Комментарии