СПбАО 2023, II кръг (очен), 11. клас, файл theo.pdf — Задача 4
XXX Санкт-Петербургская астрономическая олимпиада — 2023 — теоретический тур, 11 класс
XXX Санкт-Петербургская астрономическая олимпиада
12 февраля 2023. Теоретический тур, решения. 11 класс.
Условие
С целью изучения процесса сгорания комет во внешних слоях атмосферы Солнца на одну и ту же гелиоцентрическую орбиту было запущено 20 космических аппаратов (КА). Орбита лежит в плоскости эклиптики, ее большая полуось равна 0.25 a.e., эксцентриситет равен 0.6, КА располагаются на орбите примерно равномерно. В некоторый момент времени оказалось, что угловые расстояния между исследуемой кометой и некоторой опорной звездой при наблюдении со всех КА оказались одинаковыми и равными 33° . Определите эклиптическую широту опорной звезды, а также расстояние от Солнца до исследуемой кометы в описываемый момент времени.
Решение
Найдем расстояния в перигелии и афелии орбиты:
где rπ , rα — расстояния в перигелии и афелии соответственно, a — большая полуось орбиты, e — эксцентриситет. Утверждение о равенстве угловых расстояний эквивалентно следующему утверждению: при наблюдении с кометы, угловые расстояния между спутниками и противоположным направлением на опорную звезду оказались одинаковыми и равными по величине 33° . То есть при наблюдении с кометы орбита спутников является окружностью, а это значит, что комета находится в вершине конуса с углом раствора 2 · 33° , сечением которого является эллипс (орбита спутников). Изобразим сечение конуса. На рисунке: C — комета, AP — проекция орбиты, F1 , F2 — фокусы эллипса, ω — проекция шара Данделена (иными словами, вписанная окружность в треугольник AP C), F, G — точки касания ω и конуса, D — проекция директрисы,O — центр ω, X — точка пересечения AP и CO, Y — точка пересечения F G и CO, — угловое расстояние, данное в условии, β = ∠CXP — так как в условии сказано, что плоскость орбиты лежит в плоскости эклиптики, значит β — эклиптическая широта опорной звезды.
Стоит заметить, что Солнце может находиться как в F1 , так и в F2 , поскольку из условия эквивалентности нам лишь нужно, чтобы орбита была видна с кометы как окружность, и совершенно неважно, в каком фокусе находится Солнце. Нетрудно видеть, что от этого меняется ответ только для расстояния от Солнца до кометы.
Рассмотрим прямоугольный треугольник XY D:
Рассмотрим прямоугольный треугольник CY G:
Рассмотрим треугольник P GD. Запишем равенство вертикальных углов:
Чтобы найти значение стороны DP запишем:
Равенство касательных из точки P к окружности ω:
Запишем теорему синусов:
откуда
и
Подставляем числа:
Заметим, что нам сказано лишь о том, что орбита лежит в плоскости эклиптики. Таким образом, её наклон может равняться или 0° , или 180° . То есть ответом для эклиптической широты будет β ≈ +60° — при нулевом наклоне, β ≈ −60° — при наклоне орбиты 180° .
Предположим, что Солнце находится в F1 . Тогда расстояние от кометы до Солнца (CF1 ) находится следующим образом.
Рассмотрим треугольник ACX:
Запишем теорему синусов для треугольника ACP :
откуда
и
Подставим числа:
Запишем теорему косинусов:
Таким образом, искомое расстояние CF1 ≈ 0.27 a.e.
Аналогичным образом, предполагая, что Солнце находится в F2 , найдем расстояние от кометы до Солнца (CF2 ). Запишем теорему синусов для треугольника ACP :
откуда
и
Подставим числа:
Запишем теорему косинусов:
Комментарии
Две самых частых ошибки: 1) За эклиптическую широту звезды принимают угол между Солнцем, находящимся в одном из фокусов, и направлением на звезду. Считают, что, когда в проекции эллипс превращается в окружность, её радиус будет равен малой полуоси эллипса. Такие решения оценивались не более, чем 6 баллами. 2) Почти никто не учитывал, что Солнце может находиться в разных фокусах. За нерассмотрение второго случая снимался 1 балл.
Е.С.Бобкова
Теми и трудност
Трудност: неоценена.
Небесна механика · Закони на Кеплер
Предпоставки: Разширена олимпиадна подготовка
Оригинал в Архива: theo.pdf