СПбАО 2023, II кръг (очен), 11. клас, файл pract.pdf — Задача 1

• 1) Угол наклона i ≈ 30° (получен из cos i = b/a ≈ 0.9, ошибка может составлять ±10°). Позиционный угол лежит в диапазоне от 75° до 90°.

  Определяется путём вписывания эллипса в изофоту галактики.

• 2) 14 Мпк

  Расстояние получено из закона Хаббла: r = Vc/H = 950 км/с / 68 км/с/Мпк ≈ 14 Мпк.

• 3) Кривая вращения строится из диаграммы положение-скорость: лучевые скорости пересчитываются относительно центра галактики и делятся на sin i ≈ 1/2 для получения круговых скоростей. Итоговая кривая (Рис. 2) быстро растёт до ~250-260 км/с при радиусе около 20-30 угловых секунд, а затем выходит на плато.

• 4) Масса балджа оценивается в пределах (2÷8)×10¹⁰ M⊙, масса всей галактики — (1÷4)×10¹¹ M⊙.

  Радиус балджа Rb оценён в диапазоне от 20″ до 30″ (1.4–2 кпк), скорость на плато с учётом наклона — от 225 до 425 км/с. Размер галактики оценён по последней измеренной точке на кривой вращения (150″, или 10 кпк).

• 5) $\rho(R_0) = \begin{cases} \rho_0, & R_0 < R_b \\ \dfrac{\rho_0}{3}\dfrac{R_b^2}{R_0^2}, & R_0 > R_b \end{cases}, \qquad \rho_0 = \dfrac{M_b}{\frac{4}{3}\pi R_b^3}$

  Кривая вращения разбивается на два участка: v ∝ R при R < Rb (балдж), v = const при R > Rb (гало). Масса внутри радиуса M(R<R0) = V² R0/G; при сферической симметрии dM/dR = ρ(R)·4πR², откуда получается приведённая зависимость плотности от радиуса.

Для определения позиционного угла и угла наклона галактики, в первую очередь, необходимо вписать эллипс в изофоту, отмеченную черным цветом на изображении галактики (см. рис. 1). Угол наклона i определяется из отношения большой и малой полуосей вписанного эллипса: $\cos i = b/a \approx 0.9$. В таком случае угол наклона галактики равен $30°$. При таком подходе ошибка может составлять $\pm 10°$. Позиционный угол — угол между направлением на север и большой полуосью. Его значение можно оценить в границах от $75°$ до $90°$.

Расстояние до галактики оценивается, исходя из закона Хаббла: $V_c = Hr \Rightarrow r = V_c/H$, где $H$ — постоянная Хаббла, $V_c$ — скорость движения центра галактики (она определяется из диаграммы на рисунке справа). Таким образом расстояние можно оценить как $r = \dfrac{950\ \mathrm{км/с}}{68\ \mathrm{км/с/Мпк}} \approx 14\ \mathrm{Мпк}$.

Для построения кривой вращения найдем значения лучевых скоростей в зависимости от расстояния вдоль большой оси галактики. Они определяются из диаграммы положение-скорость (черные точки на рис. 1 справа). Для определения кривой скоростей относительно центра галактики UGC 11914 из каждого значения скорости необходимо вычесть скорость движения центра галактики. Заметим, что на кривой вращения должны появиться круговые скорости (а не их проекции), поэтому значения лучевых скоростей необходимо разделить на $\sin i \approx 1/2$. Итоговая кривая вращения представлена на рис. 2.

Массу балджа $M_b$ и всей галактики $M_g$ можно оценить из формулы круговой скорости:

Определим размер балджа $R_b$, его граница проходит в точке перехода к плоской кривой вращения (см. на красную линию на рис. 1 справа). Соответствующий радиус можно оценить в пределах от $20''$ до $30''$ (что соответствует 1.4 – 2 кпк). Значение скоростей (скорость на плато) на данных расстояниях можно принять равными 145 км/с без учёта угла наклона. Если учесть наклон, то скорость может лежать в диапазоне от 225 км/с до 425 км/с. Такой большой разброс значений связан с ошибкой определения угла наклона галактики.

В итоге массу балджа можно оценить в пределах $(2 \div 8) \times 10^{10}\ M_\odot$.

Оценим размер галактики по последней измеренной точке на кривой вращения, соответствующей радиусу $150''$ (или 10 кпк). Подставив данные значения в формулу, получим оценку массы галактики $(1 \div 4) \times 10^{11}\ M_\odot$.

Распределение плотности можно получить из зависимости скорости от радиуса. Кривую вращения можно разбить на два участка: 1) $v \propto R$, $R < R_b$, 2) $v = \text{const}$, $R > R_b$.

Тогда зависимость массы внутри внутри некоторого радиуса $R_0$ можно задать следующим образом: $M(R<R_0) = \dfrac{V^2 R_0}{G} = \begin{cases} M_b \dfrac{R_0^3}{R_b^3}, & R_0 < R_b \\ M_b \dfrac{R_0}{R_b}, & R_0 > R_b \end{cases}$

В случае сферической симметрии масса внутри данного радиуса выражается через интеграл $M(R<R_0) = \int_0^{R_0} \rho(R) 4\pi R^2\, dR \Rightarrow \dfrac{dM}{dR} = \rho(R) 4\pi R^2$.

Отсюда, взяв производную, можно получить зависимость плотности от радиуса: $\rho(R_0) = \begin{cases} \dfrac{M_b}{\frac{4}{3}\pi R_b^3}, & R_0 < R_b \\ \dfrac{M_b}{4\pi R_b}\dfrac{1}{R_0^2}, & R_0 > R_b \end{cases} = \begin{cases} \rho_0, & R_0 < R_b \\ \dfrac{\rho_0}{3}\dfrac{R_b^2}{R_0^2}, & R_0 > R_b \end{cases}$, где $\rho_0 = \dfrac{M_b}{\frac{4}{3}\pi R_b^3}$.

В.С.Костюк, В.Д.Зозуля