СПбАО 2023, II кръг (очен), 9. клас, файл pract.pdf — Задача 1

• • Максимальный радиус бара 6–9 кпк, минимальный около 3 кпк; угловая скорость около 42°/50 млн. лет, или примерно 0″.2 в год.
• • Масса балджа около $2 \cdot 10^{10}\ M_{\odot}$, масса внутри радиуса 20 кпк около $2 \cdot 10^{11}\ M_{\odot}$.
• • 14 кпк
• • Нет, бар быстрым не является.

Бар — это протяжённая структура в центральной области галактики. На самом большом изображении определим размеры этой структуры, исходя из того, что область за пределами бара должна обладать осевой симметрией. Тогда максимальный радиус бара (большая полуось) находится в пределах от 6 до 9 килопарсек, а минимальный (малая полуось) составляет около 3 килопарсек.

По точкам в таблице построим график зависимости скорости вращения звезд галактики от радиуса (кривую вращения).

Массу балджа можно вычислять по-разному, результат зависит от оценки его размеров. Можно воспользоваться либо соображением, что балдж вращается с примерно постоянной угловой скоростью, и принять в качестве его радиуса положение максимума на кривой вращения, можно на крупном изображении выделить центральную симметричную компоненту. Оба варианта дадут в качестве результата $r_0 \approx 2$ кпк.

Массу $M_r$ внутри некоторого радиуса $r$ можно оценить, считая, что скорость вращения галактики — круговая скорость

Тогда масса балджа $M_0$ вычисляется как

Для вычислений удобно воспользоваться уже знакомой вам после теоретического тура «звездноастрономической» системой единиц, в которой массы измеряются в массах Солнца, расстояния — в астрономических единицах, а время — в годах. В ней гравитационная постоянная $G = 4\pi^2$. Можно также вычислить, что 1 а.е./год $\approx 4.74$ км/с $\approx 5$ км/с, после чего подставить имеющиеся данные в формулу выше. Получим

Масса вещества внутри радиуса 20 кпк считается аналогичным образом, но можно сразу же заметить, что скорость за пределами балджа почти не меняется, а радиус увеличился в 10 раз, поэтому оценка массы внутри этого радиуса также будет в 10 раз больше оценки массы внутри балджа и составит $2 \cdot 10^{11}\ M_{\odot}$.

Угловую скорость можно определить из изображений моделей галактик. Последовательно измерим углы, на которые повернулся бар в разные промежутки времени (либо просто транспортиром), либо продолжив ось симметрии бара до края картинки и измерив тангенс угла поворота, впрочем, для получения результатов с разумной точностью подойдет даже простая оценка углов «на глаз»). При отсутствии транспортира можно заметить, что угол поворота между двумя соседними изображениями составляет чуть меньше $45^{\circ}$, после чего оценить его как $40^{\circ} - -45^{\circ}$.

Более точным будет измерение отклонения бара от вертикали на третьем по времени (центральном из трех небольших) изображении — тангенс угла отклонения окажется около 1/8, а это значит, что угол, на который за два интервала времени повернулся бар, отличается от $90^{\circ}$ примерно на $60^{\circ}/8 \approx 7^{\circ}$.

В итоге тем или иным способом мы получаем, что угол поворота между соседними изображениями составил около $42^{\circ}$. Таким образом, угловая скорость составляет $42^{\circ}/50$ млн. лет или примерно $0''.2$ в год.

Теперь на построенной нами кривой вращения проведём прямую, соответствующую постоянной угловой скорости $v = \omega r$. Для этого выразим угловую скорость в более подходящих для данной цели единицах — км/с/кпк. Если за 50 миллионов лет бар поворачивается на $42^{\circ}$, то полный оборот на $360^{\circ}$ он сделает за примерно 430 миллионов лет. Следовательно, на радиусе 1 кпк (выбранном для удобства) точка бара должна будет пройти $2\pi$ кпк за этот срок. Получаем, что в нужных нам единицах

Точка пересечения кривой вращения и построенной прямой соответствует положению радиуса коротации. Таким образом получаем, что радиус коротации оказывается равным примерно 14 кпк. В итоге, вне зависимости от того, какой размер бара мы получили, быстрым он не является.

В.Д.Зозуля