СПбАО 2023, II кръг (очен), 9. клас, файл theo.pdf — Задача 5

• Большая полуось $a \approx 0.09$ а.е.; звезды одинаковые, масса каждой 0.9 массы Солнца; две одинаковые желтые звезды Главной последовательности (класса примерно G5V).

В затменных двойных системах звезды поочередно закрывают друг друга (полностью или частично) от наблюдателя (поэтому они и «затменные»), и поскольку падение блеска каждый раз было одинаковым, это означает, что поверхностная яркость звезд одинакова — они имеют одну и ту же температуру.

О том же самом можно догадаться, если прикинуть (или вспомнить), какому примерно изменению освещенности соответствует изменение на $0^m.75$. Сделать это можно несколькими способами, но нас устроит и довольно грубая оценка. По определению шкалы звездных величин отношение освещенностей будет равно $10^{(}0.4\cdot 0.75) = 10^{3/10}$. Значит, нам надо найти число, которое при возведении в степень 10/3 даст 10. Результат явно будет где-то в районе 2, поскольку $2^3 = 8$, а $\sqrt[3]{2}$ немного больше единицы (и явно меньше, например, $\sqrt{2} \approx 1.4$.

Еще один способ — честно вычислить $2.512^{3/4}$. Округлив основание шкалы звездных величин до 2.5, мы найдем, что $2.5^3 = 5^3/2^3 = 125/8 \approx 15.6$. То, что корень четвертой степени из последнего числа будет очень близок к 2, очевидно (а в реальности — еще ближе, поскольку мы округлили основание шкалы вниз).

В итоге мы обнаруживаем, что блеск в обоих случаях падал практически в 2 раза. Поскольку каждый раз мы не видим какую-то одну звезду (или ее часть), отсюда можно сделать только один вывод — звезды вообще одинаковые, не только по температуре. Тем самым мы знаем массу каждой из них — 0.9 массы Солнца.

Теперь займемся большой полуосью системы. Ее легко вычислить, выразив орбитальный период системы в годах (масса системы нам уже дана в массах Солнца, поэтому полуось мы получим в астрономических единицах). Важно не забыть, что 88 часов — это половина орбитального периода. Сам он равен 176 часам или 7.3 суток, легко найти, что это 1/50 года. Тогда, поскольку в нужной нам системе единиц

находим, что

Осталось ответить на вопрос о цветах звезд. Это не могут быть белые карлики — система по условию видна невооруженным глазом. Это не могут быть красные гиганты — большая полуось системы это среднее расстояние между компонентами, красные гиганты такой массы на таком расстоянии просто не поместились бы. Следовательно, это звезды Главной последовательности, чуть менее массивные (и чуть более холодные), чем Солнце, но не настолько, чтобы заметно отличаться от него по цвету. Следовательно, система состоит из двух одинаковых желтых звезд (с учетом массы — класса примерно G5V).

Комментарии:

Вывод о падении яркости в 2 раза — 1 балл, вывод об идентичности звезд — 2 балла, расчет большой полуоси орбиты — 2 балла, вывод о том, что это звезды главной последовательности — 2 балла, цвет звезд — 1 балл.

Частые ошибки: почти никто не обосновал, почему это звезды главной последовательности, максимум — делали пометки. Поэтому и полный балл получили мало человек.

Также довольно много участников еще при идентичности звезд пользовались только отсутствием вторичных минимумов, из чего можно сделать вывод об одинаковой поверхностной яркости звезд. Тогда первый этап не оценивался, а второй — только в 1 балл.

П.А.Тараканов