Съдържание

СПбАО 2023, II кръг (очен), 9. клас, файл theo.pdf — Задача 4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от СПбАО 2023

XXX Санкт-Петербургская астрономическая олимпиада, теоретический тур, решения. 9 класс. 12 февраля 2023 · 12 февруари 2023 г.

Условие

В очень далеком будущем земляне основали поселение «Земля-123» на планете земного типа в далекой звездной системе. В этой системе есть два газовых гиганта — «Юпитер-123» и «Сатурн-123» с радиусами орбит 8 и 12 а.е. соответственно. В какой-то момент времени для наблюдателя на экваторе «Земли-123» газовые гиганты оказались в противоположных точках неба на горизонте ровно в полдень. Спустя какое-то время «Юпитер-123» снова оказался в полдень в той же точке горизонта. Можно ли будет в ближайшую после этого события ночь наблюдать «Сатурн-123»? Известно, что местное солнце имеет массу 1.2 массы Солнца, а год на колонизированной планете длится 2 земных года. Углом наклона местного экватора к местной эклиптике пренебречь.

Отговори

Решение

В полдень для наблюдателя на экваторе местное солнце находится строго над головой, тогда планеты находятся на горизонте на угловом расстоянии $90^{\circ}$ от местного солнца в противоположных направлениях, что соответствует таким конфигурациям, как квадратуры. При этом мы не знаем, в какой квадратуре — восточной или западной — находится та или иная планета, поэтому нам придется рассмотреть два возможных варианта.

Для начала определим, спустя какое время «Юпитер-123» окажется в той же точке горизонта в полдень, то есть повторит свою конфигурацию — сместится на $360^{\circ}$ в системе отсчета неподвижной линии «местное солнце — Земля-123». Для этого нам нужно будет оценить синодический период для двух планет, «Земли-123» и «Юпитера-123». Период обращения «Юпитера-123» оценим по третьему закону Кеплера в системе единиц «год — а.е. — масса Солнца»:

\frac{T_J^2}{a_J^3} = \frac{1}{M}, \qquad T_J = \sqrt{\frac{a_J^3}{M}} = \sqrt{\frac{8^3}{1.2}} \approx 21\,\text{год.}

Тогда синодический период будет равен

S_{EJ} = \frac{T_E T_J}{T_J - T_E} = \frac{2 \cdot 21}{21 - 2} = 2.2\,\text{года.}

Ровно спустя это время «Юпитер-123» оказался в той же точке горизонта в полдень.

Определим, на какой угол при этом относительно неподвижной линии «местное солнце — Земля-123» сместится «Сатурн-123». Для этого оценим его синодический период относительно «Земли-123». Период обращения «Сатурна-123» оценим по третьему закону Кеплера в системе единиц «год — а.е. — масса Солнца»:

\frac{T_S^2}{a_S^3} = \frac{1}{M}, \qquad T_S = \sqrt{\frac{a_S^3}{M}} = \sqrt{\frac{12^3}{1.2}} = 38\,\text{лет.}

Тогда синодический период будет равен

S_{ES} = \frac{T_E T_S}{T_S - T_E} = \frac{2 \cdot 38}{38 - 2} = 2.1\,\text{года.}

Тогда в системе отсчета неподвижной линии «местное солнце — Земля-123» за 2.2 года «Сатурн-123» сместится на угол $360^{\circ} \cdot \frac{2.2}{2.1} = 375^{\circ}$ . Заметим, что относительно более близкой к центральной звезде «Земли-123» газовые гиганты движутся медленнее, поэтому «Сатурн-123» не дойдет на $15^{\circ}$ до своего положения на горизонте — немного отстанет. Далее нужно рассмотреть два варианта конфигураций планет.

Пусть «Юпитер-123» находится в восточной квадратуре, а «Сатурн-123» — в западной. При повторении конфигурации «Юпитера-123» угловое расстояние от местного Солнца до «Сатурна-123» будет превышать $90^{\circ}$ , а это означает, что «Сатурн-123» будет виден ночью, достигая максимальной высоты над горизонтом в предрассветные часы.

Схема: в центре местное солнце (оранжевая точка) и малая окружность орбиты «Земли-123» с точкой E; средняя окружность — орбита «Юпитера-123», большая — орбита «Сатурна-123». Слева на средней окружности точка $J_{1,2}$, справа на большой окружности точки $S_1$ (на одной горизонтали с E и $J_{1,2}$) и $S_2$ (ниже); пунктирные линии соединяют E и солнце с этими точками, у E отмечен прямой угол.

Пусть «Юпитер-123» находится в западной квадратуре, а «Сатурн-123» — в восточной. При повторении конфигурации «Юпитера-123» угловое расстояние от местного Солнца до «Сатурна-123» будет, наоборот, меньше $90^{\circ}$ , а это означает, что наблюдать «Сатурн-123» можно будет ночью, после захода местного Солнца, но не очень высоко над горизонтом, поскольку максимальная высота будет достигаться еще в вечернее время, до захода Солнца.

Комментарии:

5 баллов: Все посчитано правильно, но сделан неправильный вывод (Сатурн не будет виден ночью).

3 балла: Формулы верные, но вообще нет вычислений. Итоговый ответ ошибочен.

Также 3 балла: Сделана разумная попытка решения, не давшая результата (написаны формулы для периодов, но при расчетах допущены ошибки, итоговый ответ неверен).

Зеркальная схема второго варианта: в центре местное солнце и малая орбита «Земли-123» с точкой E; справа на средней окружности (орбита «Юпитера-123») точка $J_{1,2}$, слева на большой окружности (орбита «Сатурна-123») точки $S_1$ (на одной горизонтали с E) и $S_2$ (выше); пунктирные линии от E и солнца к этим точкам, у E отмечен прямой угол.

1 балл: «Я считаю, что Сатурн будет наблюдаться», «Предположим, что выполняется ситуация как на рисунке, тогда Сатурн будет наблюдаться» и т.п.

6 баллов: Все периоды посчитаны, но итоговый ПРАВИЛЬНЫЙ ответ получен не совсем корректными рассуждениями. (Т.е. задача решена полностью, но присутствуют значительные недочеты).

7 баллов: В целом все хорошо, присутствуют незначительные недочеты, не грубые арифметические ошибки или рассмотрены 2 случая и для них получены разные ответы "Да/Нет".

2 балла ставились, если написано чуть больше, чем «ну я так считаю», но решение оборвано на середине.

4 балла ставились просто за правильную идею. Либо если участник ответил не на тот вопрос, который задавался автором задачи.

Почему-то где-то треть участников читала вопрос как «Повторится ли та же самая картина через один синодический период Юпитера?», получала правильный ответ «нет» , но зачем?

Довольно часто встречались вычислительные ошибки, когда при вычислении сидерического периода пишется $a^3$ , а в вычислениях подставляется $a^2$ .

А.В.Веселова

Оригинал в Архива: theo.pdf