Съдържание

СПбАО 2023, II кръг (очен), 9. клас, файл theo.pdf — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от СПбАО 2023

XXX Санкт-Петербургская астрономическая олимпиада, теоретический тур, решения. 9 класс. 12 февраля 2023 · 12 февруари 2023 г.

Условие

В далеком будущем жители Марса заметили, что некоторый большой астероид Главного пояса приближается к Марсу на минимальное расстояние каждые 2 марсианских года. Сколько времени будет при этом длиться сеанс радиолокации астероида с Марса? Какую долю поверхности астероида при этом наблюдатели увидят освещенной? Орбиты Марса и астероида считать круговыми и лежащими в одной плоскости.

Отговори

Решение

Астероид принадлежит Главному поясу, то есть находится дальше от Солнца, чем Марс. На минимальное расстояние астероид подходит к Марсу, находясь при этом в противостоянии, то есть в противоположной Солнцу точке неба для марсианского наблюдателя. Интервал времени между противостояниями — синодический период $S$ , связанный с периодами обращения Марса $T_M$ и астероида $T_a$ соотношением

\frac{1}{S} = \frac{1}{T_M} - \frac{1}{T_a}\,.

Отсюда определим период обращения астероида:

T_a = \left(\frac{1}{T_M} - \frac{1}{S}\right)^{-1} = \left(\frac{1}{T_M} - \frac{1}{2T_M}\right)^{-1} = 2T_M.

Зная период обращения, определим большую полуось орбиты из третьего закона Кеплера в системе единиц «а.е. – год – масса Солнца»

T^2[\text{г}] = a^3[\text{а.е.}] \Rightarrow a = \sqrt[3]{T^2} = 2^{2/3} \cdot a_M = 2.4\,\text{а.е.}

Минимальное расстояние между астероидом и Марсом составит $2.4 - 1.5 = 0.9$ а.е., сигнал от Марса до астероида и обратно преодолеет 1.8 а.е. Расстояние от Земли до Солнца свет преодолевает за 500 секунд, тогда сеанс радиолокации будет длиться $500 \cdot 1.8 = 9 \cdot 10^2$ секунд.

Поскольку астероид обращается вокруг Солнца в той же плоскости, что и Марс, освещенным будет наблюдаться весь диск астероида.

Комментарии:

1 балл за размышление.

1 балл за интервал времени.

2 балла за закон Кеплера.

2 балла за расчет и правильный ответ.

2 балла за второй вопрос.

А.В.Веселова

Оригинал в Архива: theo.pdf