Съдържание

СПбАО 2023, II кръг (очен), 9. клас, файл theo.pdf — Задача 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от СПбАО 2023

XXX Санкт-Петербургская астрономическая олимпиада, теоретический тур, решения. 9 класс. 12 февраля 2023 · 12 февруари 2023 г.

Условие

В будущем космический аппарат сел на поверхность астероида (диаметр 600 км, орбитальный период равен 4 года). Планетоход, работающий на солнечных батареях, отправился в путь по экватору астероида, за час проезжая 3 км. Период вращения астероида вокруг своей оси — 4 земных суток. Какую долю экватора успеет проехать планетоход, не попав в тень, если он начинает движение из центра освещенного полушария? Наклоном экватора астероида к плоскости его орбиты можно пренебречь.

Отговори

Решение

Определим скорость движения границы света и тени — терминатора. Для этого определим длительность солнечных суток на астероиде. Солнечные сутки — синодический период относительно периодов обращения астероида вокруг своей оси и вокруг Солнца:

S = \frac{T_{\mathrm{orb}} T_{\mathrm{rot}}}{T_{\mathrm{orb}} - T_{\mathrm{rot}}} = \frac{4 \cdot 365.25 \cdot 4}{4 \cdot 365.25 - 4} = 4.01\,\text{сут.}

Можно было без вычислений понять, что вычитаемое в знаменателе мало по сравнению с уменьшаемым, поэтому синодический период с точностью данных в условиях равен периоду обращения вокруг своей оси.

Длина экватора астероида равна $\pi D = 1885$ км, тогда скорость границы светлой и темной областей равна

V = \frac{\pi D}{S} = \frac{1885\,\text{км}}{4 \cdot 24\,\text{ч}} \approx 20\,\text{км/ч.}

Пусть планетоход движется по экватору в том же направлении, что и граница света и тени. Тогда это движение происходит с относительной скоростью 17 км/ч. Первоначально планетоход находится на расстоянии четверти экватора от терминатора, определим время, спустя которое тень догонит планетоход:

\frac{\pi D/4}{17} = \frac{1885/4}{17} = 28\,\text{ч.}

За такое время планетоход проедет расстояние

28 \cdot 3 = 84\,\text{км},

что составляет $84/1885 = 0.045$ от экватора.

А.В.Веселова

Оригинал в Архива: theo.pdf