СПбАО 2023, II кръг (очен), 9. клас, файл theo.pdf — Задача 1
XXX Санкт-Петербургская астрономическая олимпиада, теоретический тур, решения. 9 класс. 12 февраля 2023 · 12 февруари 2023 г.
Условие
62 года назад, 12 февраля 1961 года, к Венере была запущена автоматическая межпланетная станция «Венера-1». Определите примерную дату пролета АМС рядом с Венерой, если известно, что она двигалась по эллиптической орбите, касающейся орбит Земли и Венеры (так называемому эллипсу Гомана).
Отговори
- В самом конце июня 1961 года (перелет занимает примерно 0.39 года, т.е. около месяца).
Решение
С разумной точностью орбиты Земли и Венеры можно считать круговыми и лежащими в одной плоскости, а это означает, что на орбите Земли находился афелий орбиты АМС, а на орбите Венеры — перигелий. Поскольку радиус орбиты Венеры около 0.7 а.е., получаем, что большая полуось орбиты АМС равнялась а.е.
Тогда мы можем легко посчитать период обращения по такой орбите. Если измерять период в годах, то . Вычисления можно провести, непосредственно подставив величину в выражение, но удобнее воспользоваться приближенным равенством
Получаем, что
Перелет от одной орбиты до другой занимает половину периода, поэтому это примерно 0.39 года (можно округлить и до 0.4). Умножив получившийся результат на 12, получим месяца, что позволяет легко оценить дату: через четыре месяца после февраля будет июнь, месяца — это примерно 20 дней, так что пролет при движении по такой орбите должен был произойти в самом конце июня 1961 года. Реальная орбита АМС немного отличалась от описанной в задаче, так что реальная АМС добралась до Венеры немного быстрее.
Комментарии:
2 балла — понимание ситуации (не прямолинейный полет/другие странные орбиты) и оценка полуоси орбиты Венеры (не все смогли).
1 балл — большая полуось перелетной орбиты.
1 балл — закон Кеплера.
1 балл — вычисление периода.
1 балл — учет, что нужна половина периода.
2 балла — численный ответ.
Типовая ошибка — потеря деления периода пополам. При прочих правильных действиях это означало потерю 2 баллов. «Получение» 19-20 мая, не следующего из приведенного решения — 0 баллов за задачу.
Также часть участников совсем не поняла, что такое эллипс Гомана, и пыталась вписывать его между орбитой Венеры и Земли, или полностью игнорировала его и пыталась считать движение прямолинейным (предполагая, что планеты не движутся) — и то, и другое приводило к нулевому баллу за задачу.
П.А.Тараканов
Оригинал в Архива: theo.pdf