Съдържание

СПбАО 2024, II кръг (очен), 11. клас, файл theo.pdf — Задача 1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от СПбАО 2024

XXXI Санкт-Петербургская астрономическая олимпиада — теоретический тур, решения — 11 класс

4 февраля 2024

11 класс. Теоретический тур, решения.

Условие

В конце повести «Лиловый шар» добрый волшебник Оох забросил зловещий шар, созданный инопланетянами, прямо на Солнце. Считая, что дело происходило в солнечный полдень, а Оох не очень хорошо знал небесную механику и прицеливался точно в направлении Солнца, оцените, какую минимальную скорость ему при этом нужно было сообщить шару относительно Земли. Орбиту Земли можно считать круговой, релятивистскими эффектами пренебречь.

Решение

Будем считать, что после старта шар летел по траектории, пересекающей поверхность Солнца. При этом его стартовая скорость $v_1$ в системе отсчёта Солнца складывалась из скорости $v_1^{\prime}$ относительно Земли и $u$ — скорости самой Земли относительно Солнца. Поскольку дело происходило в солнечный полдень, а Оох целился точно на Солнце, то $v_1^{\prime}$ перпендикулярно $u$ и $v_1^2=(v_1^{\prime})^2+u^2$ . Обозначим скорость шара в момент столкновения с Солнцем за $v_2$ , угол между радиусом-вектором шара, исходящим из Солнца и скоростью $v_2$ за $\beta$ . Запишем закон сохранения момента импульса:

v_2\cdot\sin\beta\cdot R=u\cdot a,

где $a$ — радиус орбиты Земли, $R$ — радиус Солнца. Тогда,

v_2=\frac{u\cdot a}{\sin\beta\cdot R}.

Запишем закон сохранения энергии:

-\frac{GM}R+\frac{v_2^2}2=-\frac{GM}a+\frac{v_1^2}2=-\frac{GM}a+\frac{u^2}2+\frac{(v_1^{\prime})^2}2,

где $M$ — масса Солнца. Подставим полученное из закона сохранения момента импульса выражение для $v_2$ в закон сохранения энергии, учтём, что $u=\sqrt{GM/a}$ и получим:

(v_1^{\prime})^2=-\frac{2GM}R+\frac{GM}R\frac a{R\sin\beta}+\frac{GM}a\approx\frac{GM}R\frac a{R\sin\beta}.

Требуется найти минимальную стартовую скорость, поэтому $\sin\beta=1$ и

v_1^{\prime}=\sqrt{\frac{GM}R\frac aR}\approx6\cdot10^3\text{ км/с}.

Обратим внимание, что эта скорость много больше космических скоростей для Земли, поэтому, в виду оценочности вычислений, учёт влияния гравитационного поля Земли даст избыточную точность.

И.Д.Маркозов

Теми и трудност

Трудност: неоценена.

Небесна механика · Орбитална енергия и напускане · Орбитално движение

Предпоставки: Разширена олимпиадна подготовка

Оригинал в Архива: theo.pdf