СПбАО 2024, II кръг (очен), 11. клас, файл theo.pdf — Задача 2

Попробуем подумать, какие физические величины могут входить в интересующую нас формулу. Это искомое фокусное расстояние $F$, известные по условию $M$ и $R$, а также две физические константы, появляющиеся при описании гравитации и распространения электромагнитных волн — гравитационная постоянная $G$ и скорость света $c$. Из соображений размерности все, кроме $F$, должно каким-то образом попасть в выражение, имеющее размерность длины. Попробуем его подобрать.

Сразу же можно упростить себе задачу, вспомнив, что гравитационная постоянная и масса притягивающего центра при описании гравитационных явлений всегда встречаются в виде комбинации $\varkappa^2=GM$ — так называемого «гравитационного параметра». Как несложно выяснить, его размерность (если пользоваться, например, единицами СИ) — это м³/с², и поскольку по условию задачи фокусное расстояние должно быть обратно пропорционально массе, в выражение входит величина $1/\varkappa^2$, имеющая размерность с²/м³. Единственный способ с использованием доступных величин «избавиться» от секунд в квадрате в числителе — это умножить выражение на квадрат скорости света. Получится $c^2/\varkappa^2$, имеющее размерность 1/м. Но нам нужно расстояние, которое измеряется в метрах, поэтому остается единственный способ получить его — домножить выражение на $R^2$. Таким образом, искомое выражение должно иметь вид

где $K$ — некоторый безразмерный коэффициент. Найдем его, зная угол отклонения проходящих рядом с поверхностью Солнца лучей его гравитационным полем — это и есть те самые $\alpha=1^{\prime\prime}.75$.

Построим очень схематичный рисунок:

и сделаем из него очевидный вывод: фокусное расстояние для Солнца, являющегося гравитационной линзой, равно $F_\odot=R_\odot/\operatorname{tg}\alpha$. Поэтому коэффициент $K$ можно выразить следующим образом:

Осталось вычислить его значение. Можно несколько упростить этот процесс, вспомнив, что величина

называемая радиусом Шварцшильда, для Солнца составляет примерно 3 км. Угол $\alpha$ очень мал, его тангенс с отличной точностью равен ему самому в радианах, поэтому

Вспомнив, что радиус Солнца $R_\odot\approx7\cdot10^5$ км, вычисляем итоговое значение

Это и есть точный (несмотря на округления при вычислениях) ответ. Естественно, при решении задачи может получиться и другое, но близкое к 0.25 значение коэффициента.

Кстати, обычно искомую формулу записывают в виде

но несложно убедиться, что она полностью эквивалентна найденному нами виду

Комментарии к оцениванию:

В некоторых случаях участники знали искомую формулу как готовую (или знали выражение для угла отклонения, позволяющее быстро получить итоговый результат). Однако требовалось не записать готовый ответ, а обосновать его (хотя, конечно, не возбранялось записать ответ, а потом доказать, что он является именно таким). Как следствие, в решениях, содержащих только часть обоснования, именно она и оценивалась (а также выставлялись 2 балла за собственно правильный ответ).

Также систематической ошибкой было получение итоговой зависимости вида $F\propto R/M$ (линейной, а не квадратичной зависимости от радиуса). Такие решения при их идеальной реализации оценивались максимум 4 баллами.

П.А.Тараканов