СПбАО 2024, II кръг (очен), 11. клас, файл theo.pdf — Задача 5

Решим промежуточную задачу: выясним, как зависит количество наблюдаемых на небе звезд от предельной звездной величины.

Пусть функция $N(m)$ — это количество звезд на небесной сфере ярче звездной величины $m$. Предположим, что все звезды распределены в пространстве равномерно и имеют строго одну и ту же светимость. Освещенность, создаваемая звездой величины $m+1$, меньше освещенности, создаваемой звездой величины $m$, в $10^{2/5}\approx2.512\ldots$ раза по определению понятия звездной величины. Поскольку все звезды по предположению имеют одинаковые светимости, то освещенности, создаваемые ими, обратно пропорциональны квадрату расстояния до них. Тогда предельные расстояния, на которых мы будем наблюдать звезды величин $m$ и $m+1$ (обозначим их $r(m)$ и $r(m+1)$ соответственно), относятся как

Объемы шаров пропорциональны кубам радиусов и, так как звезды расположены в пространстве равномерно, получается, что

Таким образом, можно сказать, что

причем $m$ в данном случае — показатель степени, а не индекс, обозначающий звездную величину.

Звезды имеют, разумеется, разную светимость. Однако на итоговый результат это никак не влияет. Мы можем разделить все звезды на много отдельных классов так, чтобы в пределах каждого класса светимость звезд была примерно одинаковой. Для каждого отдельного класса полученное выше выражение для $N(m)$ вполне пригодно, а затем мы просто сложим все получившиеся выражения. Результат окажется таким же по структуре, но пригодным для звезд различной светимости. Тем самым мы доказали утверждение, известное в астрономии как теорема Зеелигера: $N(m+1)/N(m)\approx4$ (точнее 3.98, хотя для решения данной задачи это несущественно).

Если воспользоваться этим результатом и учесть, что до $+6^m$ на небе видно около $6\cdot10^3$ звезд, то проницающая способность $m_1$ инструмента мудреца, наблюдающего примерно $3\cdot10^8$ звезд (использовать это данное в более точном виде, очевидно, бессмысленно), можно найти из соотношения

Проще всего буквально подбором найти степень 2, примерно равную $5\cdot10^4$ (поскольку $2^{10}\approx10^3$, это несколько менее 16), откуда проницающая способность $m_1\approx+14^m$.

Однако полученный результат можно было бы использовать в том случае, если бы наблюдаемое число звезд было сравнительно небольшим. Но мудрец наблюдает $3\cdot10^8$ звезд, что составляет порядка $10^{-3}$ всех звезд Галактики. Даже если предположить, что Галактика представляет собой диск, равномерно заполненный звездами, а в доступной для наблюдений области мудрец видит все звезды без исключения, то доступная для наблюдений область будет иметь размеры около 1/30 диаметра диска, то есть не менее 0.5 кпк. В реальности же слабые звезды мудрец видит только вблизи, яркие — на существенно больших расстояниях (где большую роль играет межзвездное поглощение), да концентрация звезд к центру Галактики растет, поэтому предположения о равномерно заполненном звездами и полностью прозрачном пространстве в данном случае малопригодны. Попробуем как-нибудь от них избавиться.

Начнем со сравнительно простого предположения. Будем считать, что диск Галактики тонкий, и поэтому количество звезд, попадающих в область с радиусом $r$, растет пропорционально $r^2$, а не $r^3$ (для слабых звезд эта модель плоха, а вот для наиболее ярких окажется уже достаточно правдоподобной). Тогда отношение числа звезд до звездных величин $m+1$ и $m$ примет вид

а предельную проницающую способность $m_2$ можно будет найти из соотношения

Поскольку $2.512^{10}=10^4$, то выражение превращается в

откуда получаем, что $m_2=17^m\div18^m$.

Второй вариант более сложный. Выведем аналог теоремы Зеелигера (для звезд одинаковой светимости и, как следствие, одинаковой абсолютной звездной величины $M$) с учетом существования поглощения, характеризуемого величиной $A$ — увеличением видимой звездной величины на парсек. Если звезды с видимой звездной величиной $m$ видны с расстояния $r$, а звезды с видимой звездной величиной $m+1$ — с расстояния $kr$, то верны соотношения:

откуда

Считая, что коэффициент $k$ не сильно отличается от единицы (что верно даже в отсутствие поглощения), введем обозначение $x=k-1$ и преобразуем правую часть выражения:

Получаем, что для малых расстояний коэффициент $k\approx1+\frac12=1.5$ (и мы это уже знаем, точное значение $\sqrt[5]{10}\approx1.58$), а для больших он должен убывать. Нас интересует в первую очередь межзвездное поглощение в диске Галактики, оно составляет около $2^m$ на кпк, поэтому $A=2\cdot10^{-3}$, и зависимость коэффициента $k$ от расстояния будет выглядеть примерно так:

Коэффициент $k$ быстро уменьшается, и если мы оценим размеры наблюдаемой области в 1 кпк и используем среднее значение коэффициента $k$ для интервала $0\leqslant r\leqslant1$ кпк (удобно брать примерно 4/3), то, по аналогии с выводом теоремы Зеелигера возводя его в куб, получим, что

Это близко к предыдущей оценке (даже чуть меньше, что приводит к увеличению ответа), поэтому можно счесть результаты обеих оценок примерно совпадающими и дающими итоговый результат — примерно $+18^m$.

Для полноты картины приведем реальные данные. Зависимость $N(m+1)/N(m)$ для Галактики в целом, а также отдельно для галактического экватора и приполярных областей неба выглядит так:

Численная обработка этих данных действительно дает $N(+18^m)\approx3\cdot10^8$, так что, несмотря на приближения, мы получили правильный ответ.

Также интересно отметить, что тем самым мудрец получил действительно выдающийся научный результат: пронаблюдать все звезды ярче найденной нами границы действительно очень сложно. Примерно такой же фотометрической полнотой, и то по оптимистичным оценкам, обладает только каталог Gaia DR3, опубликованный летом 2022 года и последний на данный момент.

Комментарии к оцениванию:

Учет только теоремы Зеелигера (при полностью корректном выводе и правильном численном результате) — это половина задачи, которая оценивается максимум 4 баллами. Остальные 4 балла выставляются при учете межзвездного поглощения и неоднородности распределения звезд в Галактике (причем 1 балл выставлялся просто за попытку об этом задуматься, даже если она не дала никаких определенных результатов).

П.А.Тараканов