СПбАО 2024, II кръг (очен), 11. клас, файл theo.pdf — Задача 4

В предположении, что Юпитер падает медленно, его мгновенная орбита близка к круговой. Также вспомним, что и Юпитер, и Солнце вращаются вокруг оси Солнца в одну сторону, так что при падении Юпитера разумно ожидать уменьшения периода обращения Солнца.

Запишем закон сохранения углового момента (он работает всегда, а закон сохранения механической энергии здесь не выполняется, т.к. слияние объектов — диссипативный процесс). Пусть $I$ — момент инерции Солнца, $P$ — его период вращения, $M$ — его масса, $m$ — масса Юпитера, $v$ — его текущая круговая скорость, $r$ — текущий радиус орбиты. Тогда в любой момент времени верно:

Вращением Юпитера вокруг своей оси можно сразу пренебречь, т.к. его момент инерции в $10^5$ раз меньше момента инерции вращения Солнца (масса меньше в 1000 раз, радиус — в 10 раз), а меньший период обращения вокруг своей оси (10 часов) в данном случае не сильно увеличивает соответствующее слагаемое. Понятно, что $v=\sqrt{G(M+m)/r}$, но лучше написать так: $v=2\pi r/T$, где $T$ — текущий период обращения Юпитера вокруг Солнца. Тогда:

Обозначим все введенные выше переменные величины для текущего момента индексом 0. Тогда константу $L$ можно заменить:

При падении радиус орбиты Юпитера становится равным нулю (и период его обращения $T\sim r^{3/2}$ тоже, так что второе слагаемое слева зануляется). Момент инерции Солнца $I=\frac25MR^2$ не меняется со временем ($R$ — постоянный радиус Солнца, т.к. мы пренебрегаем эволюцией нашего светила, а изменением массы вследствие поглощения Юпитера мы также пренебрежем). Тогда:

Из этой формулы становится очевидно, что в случае падения Юпитера на Солнце период обращения нашего светила вокруг оси уменьшится. Кроме того, интересно, что добавка определяется угловыми размерами Солнца для наблюдателя с Юпитера.

Вычислим множитель второго слагаемого справа, обозначив его за $\xi$:

Здесь мы учли, что Юпитера в $10^3$ раз легче Солнца, а радиус Солнца равен 1/200 а.е.

Осталось выразить и посчитать итоговый период $P$:

Период обращения Юпитера вокруг Солнца сейчас составляет $T_0=12$ лет, в году 365 суток, период обращения Солнца вокруг своей оси на экваторе равен $P_0=25$ суток. Итого:

Интересно отметить, что в случае падения Сатурна результат будет примерно таким же, так как несмотря на то, что его масса в три раза меньше массы Юпитера, он находится дальше в два раза (что в квадрате даст четверку), так что величина $\xi$ для Сатурна будет примерно такой же.

Для полноты картины также оценим минимальный период обращения Солнца вокруг своей оси. Это можно сделать, найдя время обращения вокруг Солнца при радиусе орбиты, равном радиусу Солнца или вспомнить, что первая космическая скорость у поверхности Солнца равна 437 км/с. В любом случае получается $3\times10^3$ с, что гораздо меньше полученных в ответе $1.4\times10^5$ с, то есть при падении Юпитера на Солнце, оно останется целым. Скорее всего, подобный механизм и ответственен за то, что молодые звезды типа T Тельца могут вращаться с периодами порядка 3 суток (горячие юпитеры находятся рядом с ними или уже упали), а миграция Юпитера и Сатурна от Солнца в Солнечной системе заметно замедлила вращение нашего светила вокруг своей оси.

Комментарии к оцениванию:

Знание параметров Солнца ($P_0$, $M$, $R$) и Юпитера ($r_0$ или $T_0$, $m$) — $2+1$ балла. Запись закона сохранения момента импульса — 2 балла. Преобразования и вычисления — 2 балла. Ответ, на порядок отличающийся от $P_0$ в меньшую сторону, но не менее $3\times10^3$ с — 1 балл.

В.В.Григорьев