СПбАО 2025, II кръг (очен), 11. клас, файл theo.pdf — Задача 1

Рассмотрим небольшой участок галактики, высекаемый телесным углом $\theta^2$, где $\theta$ — угловой размер участка. Известно, что обычно поверхностная яркость не зависит от расстояния — она выражается как $E/\theta^2$, а и освещенность, создаваемая кусочком объекта, и квадрат его углового размера падают обратно пропорционально квадрату расстояния. На космологических масштабах это рассуждение больше не работает, поскольку в расширяющейся Вселенной само понятие расстояния необходимо определять более аккуратно.

Отношение двух расстояний между одними и теми же двумя точками в расширяющейся плоской Вселенной, измеренные одновременно, в моменты времени $t_1$ и $t_2$ можно записать как отношение двух функций времени $\frac{s_1}{s_2}=\frac{a(t_1)}{a(t_2)}$. Применив это же к длине волны фотона, испущенного источником и принятого спустя какое-то время наблюдателем, получим

Рассматривая два фотона, испущенные в момент времени $t_1$ и полученные наблюдателем в момент времени $t_2$, можно получить, что для заданного $\theta$ в формуле углового размера вместо расстояния $r$ необходимо использовать $r_{\mathrm{ad}}=\frac{r}{1+z_1}$ (объект как бы находился ближе, когда мы измеряли угловой размер).

При вычислении освещенности необходимо учесть два эффекта. Во-первых, из-за увеличения длины волны каждого фотона его энергия уменьшится на $(1+z_1)$. Во вторых, изменится частота прихода самих фотонов: упрощая, предположим что объект испускал по одному фотону в $\Delta t$, тогда новый интервал будет равен $\Delta t\,(1+z_1)$. То есть если бы мы хотели использовать ту же формулу для вычисления освещенности, $r^2$ в знаменателе нужно было бы заменить на $r_L^2=r^2\cdot(1+z_1)^2$.

Таким образом, для участка далекого объекта размером $l$:

Для объекта локальной Вселенной $z_2\approx0$, поэтому поверхностная яркость оказывается в $(1+z_1)^4=4^4\approx3\cdot10^2$ раз больше.

Тот же результат можно получить несколько менее корректным способом, предполагая, что спектр галактики близок к спектру абсолютно черного тела (что в общем случае все же не совсем верно).

Рассмотрим квадратный участок галактики фиксированного углового размера $\theta$, для удобства заданного в радианах. Если расстояние до галактики равно $r$, то соответствующий участок имеет линейный размер $l=r\theta$.

Пусть температура этого участка равна $T$. В таком случае участок имеет светимость $L=l^2\sigma T^4$ (тут $\sigma$ — постоянная Стефана-Больцмана) и создает на расстоянии $r$ освещенность

Если мы отнесем освещенность к участку единичной угловой площади, мы получим, что поверхностная яркость галактики $\rho=E/\theta^2$ определяется только эффективной температурой соответствующей области, причем $\rho\propto T^4$.

Теперь учтем космологические эффекты. Пока фотоны от галактики летели до наблюдателя, Вселенная расширилась, вследствие чего увеличилась длина волны фотонов:

Тут $\lambda_0$ — длина волны фотона в момент излучения, $\lambda$ — длина волны фотоны в современную эпоху. Из закона смещения Вина мы знаем, что $\lambda\cdot T=\mathrm{const}$, а это означает, что наблюдаемая (яркостная) температура объекта упала в $1+z$ раз, и тем самым поверхностная яркость объекта $\rho\propto(1+z)^{-4}$.

Тогда отношение поверхностных яркостей оказывается равным

Отметим также, что, согласно современным моделям образования эллиптических галактик, на начальном этапе эволюции весь доступный газ относительно быстро перерабатывается в звезды и формируется массивный компактный объект — «красный самородок». Дальнейший рост галактики осуществляется за счет слияний с другими объектами. Однако, если слияний не происходит, такой «реликтовый» объект вполне может сохраниться до современной эпохи в изначальном виде, поэтому условие об одинаковости галактик из условия задачи вполне реалистично.

Н.С.Рогов