Съдържание

СПбАО 2025, II кръг (очен), 11. клас, файл theo.pdf — Задача 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от СПбАО 2025

XXXII Санкт-Петербургская Астрономическая олимпиада — теоретический тур, решения — 11 класс

2 февраля 2025

11 класс. Теоретический тур, решения.

Условие

Шаровое звездное скопление имеет радиус 20 пк и состоит из $10^6$ звезд, похожих на Солнце. В начальный момент времени некоторая звезда находится в 3 пк от центра скопления и движется в направлении, перпендикулярном направлению на центр скопления, со скоростью 10 км/с. Оцените максимальное расстояние от центра скопления, на котором может оказаться звезда, и время (отсчитанное от начального момента), через которое это произойдет. Скопление однородное: концентрация звезд в скоплении всюду одинакова.

Решение

Сила, которая действует на звезду внутри скопления на расстоянии $r$ от центра, равна

\vec F=-\frac{GM(r)m}{r^3}\vec r=-\frac43\pi G\rho m\,\vec r.

Введем в плоскости, в которой движется звезда, систему координат следующим образом:

Система координат: звезда на оси X, начальная скорость направлена вдоль оси Y.

Компоненты сил вдоль осей $\mathcal X$ и $\mathcal Y$ равны соответственно:

F_x=-\frac43\pi G\rho mx,\qquad F_y=-\frac43\pi G\rho my.

Иными словами, $F_x=-kx$ и $F_y=-ky$ , где $k=\frac43\pi G\rho m$ . Таким образом, уравнение движения звезды вдоль каждой оси представляет с собой уравнение гармонического осциллятора. Период колебаний вдоль каждой оси в таком случае равен

T=2\pi\sqrt{\frac mk}=2\pi\sqrt{\frac3{4\pi G\rho}}.

Заметим, что в начальный момент времени координата $x$ звезды ненулевая, а проекция скорости на ось $\mathcal X$ равна нулю. Тогда $x$ как функция времени $t$ может быть записана в виде $x=x_0\cos\omega t$ . Наоборот, в начальный момент времени координата $y$ равна нулю, а соответствующая компонента скорости — нет. Аналогичным образом получаем $y=y_0\sin\omega t$ .

Известно, что $x_0=3$ пк. Найдем $y_0$ , записав закон сохранения энергии:

\frac{mv_y^2}2=\frac{ky_0^2}2=\frac23\pi G\rho my_0^2.

Подставив сюда среднюю плотность скопления $\rho=\frac{3M}{4\pi R^3}$ , находим

y_0=\sqrt{\frac{3v_y^2}{4\pi G\rho}}=\sqrt{\frac{3v_y^2\cdot4\pi R^3}{4\pi G\cdot3M}}=\sqrt{\frac{v_y^2\cdot R^3}{GM}}

Вычислять это удобнее всего в системе единиц «астрономическая единица – масса Солнца – год», в которой $G=4\pi^2$ . Учитывая, что 1 пк $\approx2\cdot10^5$ а.е., а 1 а.е./год $\approx5$ км/с, получаем

y_0=\sqrt{\frac{v_y^2\cdot R^3}{GM}}=\sqrt{\frac{2^2\cdot(20\cdot2\cdot10^5)^3}{4\pi^2\,10^6}}=\frac8\pi\cdot10^6\text{ а.е.}\approx13\text{ пк}.

Расстояние от центра до звезды в произвольный момент времени $t$ можно записать как

r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x_0^2\cos^2\omega t+y_0^2\sin^2\omega t},

и теперь нам нужно найти максимально возможное значение $r$ .

Это можно делать как минимум двумя путями. Во-первых, стандартным образом исследовать функцию на экстремум (причем можно упростить себе жизнь, заметив, что расстояние $r$ максимально, когда максимально $r^2$ , и исследовать сразу функцию $r^2$ ). Во-вторых, можно догадаться, что полученные выше выражения

\begin{cases}x(t)=x_0\cos\omega t\\y(t)=y_0\sin\omega t\end{cases}

представляют собой параметрическое уравнение эллипса с осями, ориентированными вдоль осей координат, поэтому экстремальные (и минимальные, и максимальные) расстояния будут достигаться тогда, когда либо $x=0$ , либо $y=0$ , после чего останется выбрать максимум из двух имеющихся вариантов.

Оба рассуждения приведут нас к одному и тому же выводу: максимальное расстояние равно $y_0\approx13$ пк, и достигнуто оно впервые будет через четверть периода после начала движения.

Осталось сосчитать соответствующее время:

t=\frac T4=\frac\pi2\sqrt{\frac{3\cdot4\pi R^3}{4\pi G\cdot3M}}=\frac\pi2\sqrt{\frac{R^3}{GM}}=\frac\pi2\sqrt{\frac{(20\cdot2\cdot10^5)^3}{4\pi^2\cdot10^6}}=2\cdot10^6\text{ лет}.

С.А.Русаков

Теми и трудност

Трудност: неоценена.

Небесна механика · Гравитационни системи

Предпоставки: Разширена олимпиадна подготовка

Оригинал в Архива: theo.pdf