Съдържание

СПбАО 2025, II кръг (очен), 11. клас, файл theo.pdf — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от СПбАО 2025

XXXII Санкт-Петербургская Астрономическая олимпиада — теоретический тур, решения — 11 класс

2 февраля 2025

11 класс. Теоретический тур, решения.

Условие

У красного карлика с массой $0.35\mathfrak M_\odot$ обнаружена планета с массой и средним радиусом как у Земли. Известно, что орбитальный период планеты составляет 6 часов. Оцените отношение минимального и максимального радиусов планеты.

Решение

Начнем с оценки большой полуоси орбиты планеты, для чего воспользуемся III законом Кеплера в единицах «астрономическая единица – масса Солнца – год». 6 часов — это примерно 1/1500 часть года, поэтому большая полуось равна

a=\sqrt[3]{P^2\mathfrak M}\approx\left(\frac{0.35}{1500^2}\right)^{1/3}\approx5\cdot10^{-3}\text{ а.е.}

Сразу же заметим, что полученное значение максимум в несколько раз превышает радиус звезды, так что орбиту планеты можно считать круговой: орбиты настолько близких к своим звездам планет очень быстро эволюционируют к круговым.

За счет чего планета может оказаться несферической? В столь тесной системе явно имеется приливная синхронизация, так что планета вращается вокруг своей оси с периодом в 6 часов, из-за чего она должна быть сплюснута у полюсов. Но есть и другой фактор: сильнейшее приливное воздействие со стороны звезды, которое должно вытягивать планету вдоль прямой, соединяющей центры звезды и планеты, а заодно сделать плоскости экватора планеты и плоскости ее орбиты вокруг звезды совпадающими. Займемся оценкой этих факторов по очереди, начав с приливного воздействия.

Форма планеты определяется эквипотенциальной поверхностью для суммарного потенциала, в котором находится вещество планеты. В данном случае это гравитационные потенциалы, создаваемые самой планетой и звездой. Обозначим радиус планеты в направлении на звезду как $R$ и запишем условие равенства суммарных гравитационных потенциалов в ближайшей к звезде точке планеты и на полюсе планеты:

-\frac{GM}{a-R}-\frac{Gm}R=-\frac{GM}a-\frac{Gm}{R-\Delta R},

Тут $M$ — масса звезды, $m$ — масса планеты, $\Delta R$ — величина, на которую максимальный радиус планеты больше полярного за счет приливного воздействия звезды.

Упрощая и преобразуя выражение, получаем

\frac M{a-R}-\frac Ma=\frac m{R-\Delta R}-\frac mR

\frac{MR}{(a-R)a}=\frac{m\Delta R}{(R-\Delta R)R}.

Поскольку $a\gg R$ , то в знаменателе в левой части равенства мы точно можем пренебречь вычитанием $R$ . Предположим также, что $\Delta R\ll R$ и пренебрежем $\Delta R$ в знаменателе правой части. Это приведет нас к выражению вида

\frac{MR}{a^2}=\frac{m\Delta R}{R^2}.

откуда относительное сжатие планеты получается равным

\frac{\Delta R}R=\frac Mm\left(\frac Ra\right)^2.

Масса звезды с хорошей точностью в $10^5$ раз больше массы планеты, а большую полуось орбиты $a$ мы можем считать большей $R$ примерно в $10^2$ раз — поскольку нас интересует оценка, более высокая точность тут не требуется. Отсюда, подставляя числа, получаем, что $\Delta R/R\approx10$ .

Это совершенно очевидно нелепый результат — получается, что полярный радиус планеты отрицателен, чего не может быть. А тогда мы можем сделать два важных вывода: во-первых, приближение $\Delta R\ll R$ неверно, во-вторых, сжатие планеты за счет вращения, скорее всего, является сравнительно малозначимым фактором на фоне приливного растяжения.

Поэтому вернемся немного назад и откажемся от сделанного ранее приближения. Мы получим уравнение

\frac{MR}{a^2}=\frac{m\Delta R}{(R-\Delta R)R}=\frac{m\cdot\delta}{R(1-\delta)},

где $\delta=\Delta R/R$ . Оно при подстановке численных данных превратится в

10=\frac\delta{1-\delta},

откуда $\delta=10/11\approx0.9$ , а это означает, что максимальный и минимальный радиусы планеты отличаются в $1/(1-\delta)\approx10$ раз.

Сделаем несколько заключительных замечаний.

Полученная оценка должна оказаться завышенной: при вычислении гравитационного потенциала планеты мы неявно предполагали, что ее можно считать сферически-симметричной и вычислять потенциал как потенциал точки, расположенной в центре планеты и имеющей массу планеты. Однако при таком отличии формы планеты от сферической подобная оценка явно очень груба. Однако совершенно точно можно сказать, что планета находится буквально на грани приливного разрыва (аккуратное вычисление показывает, что для разрушения планеты большая полуось ее орбиты должна оказаться всего на 8% меньше нынешнего значения).

Как мы уже выяснили выше, сжатием планеты у полюсов за счет вращения можно пренебречь. Однако тот же вывод можно было сделать сразу, вспомнив, как выглядит полость Роша в ограниченной круговой задаче трех тел: фактически именно ее форму в подобной ситуации должна принимать планета.

Вычисление сжатия планеты за счет вращения вокруг оси тут не приводится, поскольку это достаточно стандартная задача. Тем не менее укажем ответ: соответствующая деформация окажется равной $\delta_{\text{вращ}}\approx3\cdot10^{-2}$ , этот фактор действительно пренебрежимо мал по сравнению с приливным растяжением.

Ну и наконец заметим, что у планеты из этой задачи есть реальный прототип: TOI-6255 b, открытая в 2024 году. Реальная планета несколько больше и массивнее, чем Земля, но также находится «на грани» приливного распада (и, по оценкам, разрушится примерно через $4\cdot10^8$ лет.

П.А.Тараканов

Теми и трудност

Трудност: неоценена.

Слънчева система · Екзопланети и среди · Приливи и отливи · Планетни среди

Предпоставки: Разширена олимпиадна подготовка

Оригинал в Архива: theo.pdf