Съдържание

СПбАО 2025, II кръг (очен), 11. клас, файл theo.pdf — Задача 4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от СПбАО 2025

XXXII Санкт-Петербургская Астрономическая олимпиада — теоретический тур, решения — 11 класс

2 февраля 2025

11 класс. Теоретический тур, решения.

Условие

В центральной области туманности вокруг молодой звезды спектрального класса O5 ( $T_{\mathrm O}=4\cdot10^4$ К) наблюдается область ионизованного водорода (HII). На краю той же туманности находится звезда спектрального класса B2 ( $T_{\mathrm B}=2\cdot10^4$ K), также окруженная областью HII, угловой размер которой в 2 раза больше углового размера первой области. Оцените, во сколько раз отличаются концентрации водорода в этих областях. Можно считать что характерные температуры областей HII практически одинаковы.

Решение

В данной задаче нас интересует оценка размера области ионизованного водорода (HII) вокруг горячих OB-звезд, также называемой зоной Стремгрена. В начале XX века Бенгт Стремгрен впервые обосновал, почему мы наблюдаем туманности вокруг горячих звезд, и рассчитал их размер, в этой задаче мы последуем за его работой.

Для начала вспомним, почему вообще возникает области ионизованного водорода. Горячие звезды светят в жестком ультрафиолетовом диапазоне и ионизуют атомы водорода. Таким образом, темп ионизации зависит от того, сколько фотонов с длиной волны меньше 912 Å (и энергией, большей энергии ионизации атомов водорода) испустила звезда за единицу времени. Пусть за одну секунду из звезды вылетает $Q$ фотонов с нужной длиной волны.

В ионизованной среде также могут происходить процессы рекомбинации. Рекомбинация происходит, когда электрон «сталкивается» с протоном, а значит в единице объема число этих процессов пропорциональна произведению концентраций этих частиц $n_e\cdot n_p$ .

Это можно также оценить из других соображений. Известно, что среднее время свободного пробега частиц A с частицами B в среде равно:

t_A=\frac1{n_B\langle\sigma v\rangle},

здесь $n_B$ — концентрация частиц B, $\langle\sigma v\rangle$ — среднее значение произведения сечения взаимодействия на скорость частиц. В общем случае последняя величина зависит от температуры среды, однако в условии задачи указано считать, что характерные температуры самих областей HII практически одинаковы, так что эту величину можно считать неизменной. Зная соотношение для времени свободного пробега, можно определить сколько «столкновений» частиц A с частицами B будет происходить за 1 секунду в объеме $V$ :

N_{AB}=\frac{n_AV}{t_A}=n_An_B\langle\sigma v\rangle V.

В случае задачи частицы А и B — это протоны $p$ и электроны $e$ .

После рассуждений выше становится понятно, что размеры области ионизации определяются балансом между темпом рекомбинации и темпом ионизации $Q=N_{e,p}$ . Отсюда получаем практически точно совпадающую с опубликованной Стремгреном формулу для радиуса зоны Стремгрена:

n_en_p\langle\sigma v\rangle\frac43\pi r_S^3=Q\Rightarrow r_S=\left(\frac{3Q}{4\pi n^2\langle\sigma v\rangle}\right)^{1/3}\propto(Qn^{-2})^{1/3}.

Здесь мы считаем, что газ полностью ионизован, поэтому концентрации протонов и электронов совпадают $n_e=n_p=n$ . Для ответа на вопрос задачи достаточно получить правильную пропорцию.

Осталось оценить величину $Q$ , точнее найти, чему эта величина пропорциональна. Будем предполагать излучение звезд чернотельным. Тогда число фотонов с длиной волны $\lambda$ , меньшей $\lambda_0$ , которые вылетают из звезды, можно найти как интеграл от энергетического спектра (задаваемого формулой Планка), поделить на энергию фотона и умножить на площадь поверхности звезды:

\begin{aligned}Q&=4\pi R^2\int_{\nu_0}^\infty\frac{B_\nu}{h\nu}\,d\nu\propto R^2\int_{\nu_0}^\infty\nu^2\exp\left(-\frac{h\nu}{kT}\right)d\nu\propto T^3\int_{x_0}^\infty x^2e^{-x}\,dx=\\&=R^2T^3(x_0^2+2x_0+2)e^{-x_0}=\begin{cases}0.48\cdot R^2T^3,&T=4\cdot10^4\text{ K}\\0.03\cdot R^2T^3,&T=2\cdot10^4\text{ K}\end{cases}\end{aligned}

Здесь $x_0=\frac{hc}{\lambda_0kT}=\frac{1.6\cdot10^5}T$ , если температура задана в кельвинах. Для первой звезды эта величина примерно равна 4, для второй — 8. Мы применили тут приближение Вина, которое хорошо аппроксимирует формулу Планка в коротковолновой (высокочастотной) области спектра и в окрестности максимума.

Без численных коэффициентов эту величину можно было оценить, зная что полная энергия, излучаемая 1 м² поверхности звезды за единицу времени, равна $\sigma T^4$ , а характерная энергия фотона пропорциональна $T$ (что следует из закона смещения Вина), тогда полное число фотонов выходящих из звезды $Q\propto R^2T^3$ .

Осталось оценить зависимость «температура-радиус» для звезд Главной последовательности. Для этих звезд известно соотношение светимость-радиус и, используя закон Стефана-Больцмана, можно получить искомую зависимость:

L\propto R^5\quad\Rightarrow\quad R^3\propto T^4.

Значит полное число фотонов вылетающих из звезды за данное время для этих двух звезд пропорционально

\begin{cases}0.48\cdot T^{17/3},&T=4\cdot10^4\text{ K}\\0.03\cdot T^{17/3},&T=2\cdot10^4\text{ K}\end{cases}

Теперь осталось приравнять темп ионизации и темп рекомбинации и взять их отношение для обеих звезд:

\frac{Q_1}{Q_2}=\frac{n_1^2r_1^3}{n_2^2r_2^3}\Rightarrow\frac{0.48\cdot T_1^{17/3}}{0.03\cdot T_2^{17/3}}=\frac{n_1^2r_1^3}{n_2^2r_2^3}.

Подставляя данные, получаем

16\cdot2^{17/3}=\left(\frac{n_1}{n_2}\right)^2\cdot\frac18,

откуда

\left(\frac{n_1}{n_2}\right)^2=2^{12.67}

и $n_1/n_2\approx80$ . Более грубая оценка, без интегрирования приближения Вина, даст отношение, примерно равное 20.

В.Д.Зозуля

Теми и трудност

Трудност: неоценена.

Екзопланети и среди · Светлина и астрономически измервания · Междузвездна среда · Абсолютно черно тяло

Предпоставки: Разширена олимпиадна подготовка

Оригинал в Архива: theo.pdf