СПбАО 2025, II кръг (очен), 7–8 клас, файл theo.pdf — Задача 4

• 5° северной широты, 12° восточной долготы

Скорость путешественника невелика, преодолеваемое за половину суток расстояние мало по сравнению с длиной земного экватора, поэтому можно считать, что путешественник движется в плоскости. Поскольку действие задачи происходит в день равноденствия, можно считать, что во всех пунктах восход и заход Солнца будут происходить в точках востока и запада, а день длится 12 часов. Однако путешественник смещается по долготе на запад, поэтому светлое время суток для него будет продолжаться больше 12 часов, что, возможно, следует учесть.

Дальнейшее решение можно выполнять многими различными способами, в зависимости от знаний участника, но мы изложим наиболее простой вариант, не требующий знания и понимания того, что такое векторы, тригонометрические функции и прочие страшные (пока) вещи. Нарисуем схему перемещения путешественника за 12 часов.

Путешественник двигался по гипотенузе прямоугольного треугольника и за 12 часов преодолел $12 \cdot 60 = 720$ км. Сравнив длину гипотенузы и горизонтального катета, можно обнаружить, что при этом он сместился на $720/2 = 360$ км западнее. Таким образом, путешественник смещается на запад со скоростью 30 км/час. Вспомнив или вычислив длину дуги экватора, соответствующую разности долгот $1^{\circ}$ (она равна примерно 111 км), получаем, что путешественник за 12 часов поменяет свою долготу примерно на $\left(3\frac{1}{4}\right)^{\circ}$.

В то же время Солнце, совершая полный оборот по небу за 24 часа, проходит $360/24 = 15^{\circ}$/час. Через 12 часов после начала движения путешественник окажется в точке, в которой заход Солнца наступит через

За это время он успеет переместиться еще на 12 км и сдвинуться на запад на 6 км. Формально описанную процедуру мы должны повторить еще раз (поскольку путешественник опять оказался западнее) и еще, и еще…но можно сразу сообразить, что уже следующая подобная поправка приведет к учету настолько маленького сдвига, что его учет станет совершенно бесполезным. Более того, и первая поправка исправит итоговые координаты примерно на десятую долю градуса, а координаты начальной точки путешествия у нас даны с точностью до градуса.

Поэтому уже тут можно остановиться и отметить, что путешественник сместится на запад на $3^{\circ}$ (в реальности чуть больше, но при округлении до целого числа градусов мы получим именно это). Смещение на север можно получить, сравнив на нашем чертеже длины либо гипотенузы (в градусах она будет равна $720/111 \approx 6^{\circ}.5$) и вертикального катета, либо двух катетов. В обоих случаях мы обнаружим, что смещение по широте составит, при округлении до целого, $6^{\circ}$. Аналогичный результат можно получить, если просто найти длину вертикального катета в километрах из теоремы Пифагора, а затем перевести полученное значение в градусы.

Таким образом, конечная точка путешествия будет иметь координаты $5^{\circ}$ северной широты и $12^{\circ}$ восточной долготы.

А.В.Веселова