Съдържание

СПбАО 2025, II кръг (очен), 9. клас, файл theo.pdf — Задача 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от СПбАО 2025

XXXII Санкт-Петербургская Астрономическая олимпиада, 2025, 2 февраля, теоретический тур, решения

Условие

В далеком будущем на далекую круглую планету высадились три космических витязя. До них на планете уже кто-то побывал: рядом с местом высадки обнаружился камень, на котором было написано «Налево пойдешь — коня потеряешь, направо пойдешь — тоже коня потеряешь, прямо пойдешь — опять-таки коня потеряешь». Поскольку коней у них не было, они решили попробовать все три варианта: один шел все время на восток, другой — все время на запад, а третий на север, а когда дошел до полюса планеты, продолжил двигаться дальше в том же направлении, в котором шел до этого. Шли все витязи с одинаковой скоростью и одновременно встретились. Определите широту места, в котором они высадились на планету.

Отговори

Решение

Попробуем начать с формализации задачи. Два первых витязя проходят половину параллели. Если радиус планеты обозначить за $R$ , а широту за $\varphi$ , радиус параллели как окружности будет равен $R\cos\varphi$ , а длина параллели будет равна $2\pi R\cos\varphi$ . В таком случае каждый из двух витязей пройдет расстояние $l_{1,2} = \pi R\cos\varphi$ .

Третий витязь сначала сдвигается на $90^{\circ}-\varphi$ при движении к полюсу планеты, затем еще на столько же, когда идет от полюса к параллели. Следовательно, его угловое смещение относительно центра планеты составляет $180^{\circ}-2\varphi$ , а длина пути составит, для углов в градусной мере

l_3 = \dfrac{180^{\circ}-2\varphi}{360^{\circ}}\cdot 2\pi R \;\Rightarrow\; \pi R\cos\varphi = \dfrac{180^{\circ}-2\varphi}{360^{\circ}}\cdot 2\pi R,\;\; \cos\varphi = \dfrac{180^{\circ}-2\varphi}{360^{\circ}}\cdot 2.

Немного удобнее уравнение выглядит при переводе углов в радианную меру:

\cos\varphi = \dfrac{\pi-2\varphi}{2\pi}\cdot 2 \;\Rightarrow\; \cos\varphi + \dfrac{2\varphi}{\pi} = 1.

Уравнение трансцендентно, прямому решению не поддается. Можно задуматься о проверке частных случаев. Если витязи высадились на экваторе, то каждый из них пройдет ровно половину длины окружности планеты, так что $\varphi=0$ является корнем. Широта северного полюса $\varphi = \pi/2$ также формально подходит — витязи просто стоят на месте — правда, они при этом явно не идут на запад, восток или север. Существуют ли какие-либо другие решения?

В принципе, можно заняться формальным исследованием функции в левой части уравнения и добраться до искомого ответа, но проще получить его другим, куда более коротким путем. По условию два первых витязя движутся по дугам малых кругов, третий — по дуге большого круга. Кратчайшее расстояние между точками на сфере — именно дуга большого круга, а это означает, что явиться в одну и ту же точку в одно и то же время витязи могут только в том случае, если все они движутся по дугам больших кругов (иначе говоря, два первых витязя идут по экватору). Следовательно, остается только один возможный вариант: витязи высадились на экваторе, широта места высадки равна $0^{\circ}$ .

А.В.Веселова

Оригинал в Архива: theo.pdf