СПбАО 2025, II кръг (очен), 9. клас, файл theo.pdf — Задача 5

• Угловое расстояние между Юпитером и Венерой может быть любым в диапазоне от $0^{\circ}$ до $180^{\circ}$.

Воспользуемся оценкой, что Юпитер примерно в 11 раз больше Земли, а Венера — немного меньше. Тогда отношение их размеров можно принять равным 12. Поскольку их угловые размеры совпали, это означает, что расстояния до этих планет также отличаются в 12 раз.

Вспомним также, что радиусы орбит Венеры и Юпитера равны 0.7 и 5 а. е. соответственно. Тогда расстояние от Венеры до Земли варьируется в диапазоне $[0.3;\,1.7]$ а. е., а в случае Юпитера — $[4;\,6]$ а. е.

Если Юпитер находится максимально далеко от Земли (в соединении), то Венера должна находиться на расстоянии $6/12=0.5$ а. е., и это допустимо. Если же Юпитер максимально близко к Земле (в противостоянии), то расстояние до Венеры будет составлять $0.33$ а. е., что также допустимо, значит, подобная ситуация в принципе возможна. Нарисуем расположение планет в масштабе:

Здесь синим кружком обозначена Земля, желтым — Солнце, фиолетовой окружностью — орбита Венеры. В точках пересечения зеленой пунктирной и фиолетовой сплошной окружностей может располагаться Венера для удовлетворения указанного условия в случае наблюдения Юпитера в противостоянии (зеленый кружок на внешней орбите). Аналогично для соединения Юпитера получаем красный кружок и красную пунктирную окружность. В случае перемещения Юпитера от противостояния до соединения Венере «разрешается» переместиться по своей орбите от зеленой окружности до красной. Оба промежутка симметричны, и нужно будет аккуратно с ними разобраться.

Найдем величины углов. Это можно сделать двумя способами: аналитически, то есть при помощи теоремы косинусов (использовав известное расстояние до Венеры и найдя ее элонгацию), или измерив транспортиром угол между планетами для наблюдателя с Земли, если рисунок выше нарисован достаточно аккуратно.

Приведем аналитическое решение для соединения Юпитера. Пусть элонгация Венеры равна $\alpha$ на расстоянии $d=0.5$. Тогда:

Отсюда $\alpha\approx 40^{\circ}$ (что можно найти, например, интерполяцией известных значений косинусов для углов $30^{\circ}$ и $45^{\circ}$). Аналогично элонгация Венеры во время противостояния Юпитера получается $\alpha'\approx 27^{\circ}$.

Итак, пусть Юпитер в соединении, а Венера находится в западной элонгации (в верхней половине рисунка — пересечение красной пунктирной и фиолетовой окружностей). Тогда угол между Венерой и Юпитером должен составлять $180^{\circ}-40^{\circ}=140^{\circ}$. Если мысленно перемещать Юпитер по его орбите против часовой стрелки, то Венеру придется двигать в том же направлении, но существенно медленнее, и угол между ними будет уменьшаться. В некоторый момент Юпитер и Венера окажутся на одной линии, значит, угол между ними окажется равен $0^{\circ}$, но Венера еще не достигнет красной пунктирной окружности (в этот момент до Венеры расстояние окажется равным 0.5 а. е.). Далее двигая Юпитер против часовой стрелки мы позволим планетам разойтись. Когда Юпитер окажется в противостоянии, Венера дойдет до красной пунктирной окружности, и угол между планетами составит $27^{\circ}$.

Если двигать Юпитер далее, то Венеру придется двигать обратно по своей орбите, и в некоторый момент окажется так, что Юпитер и Венера снова окажутся на одной линии, но по разные стороны от Земли, то есть их будет разделять $180^{\circ}$ (Венера еще не «дойдет» до зеленой пунктирной окружности, расстояние до Венеры составит 0.38 а. е.). Далее Юпитер снова окажется в противостоянии, а Венера — на ближайшем возможном по условию расстоянии к Земле.

В результате получаем итоговый ответ: при совпадении угловых размеров Юпитера и Венеры угловое расстояние между ними на небе может оказаться любым, в диапазоне от $0^{\circ}$ до $180^{\circ}$.

В.В.Григорьев