Съдържание

СПбАО 2025, II кръг (очен), 9. клас, файл theo.pdf — Задача 4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от СПбАО 2025

XXXII Санкт-Петербургская Астрономическая олимпиада, 2025, 2 февраля, теоретический тур, решения

Условие

Годичный параллакс звезды в 50 раз превышает ее видимый угловой диаметр. Определите среднюю плотность звезды в г/см $^3$ , если ее масса равна 2 массам Солнца.

Отговори

Решение

Годичный параллакс равен отношению 1 а. е. к расстоянию до объекта. Видимый угловой диаметр равен отношению линейного диаметра к расстоянию до объекта. Отношение параллакса к видимому диаметру составляет 50, следовательно, тогда реальный диаметр звезды составляет $1/50$ а. е., а радиус — $10^{-2}$ а. е.

Среднюю плотность звезды можем определить напрямую, помня величину массы Солнца ( $\mathfrak{M}_{\odot} = 2\cdot 10^{30}$ кг), для этого массу звезды делим на ее объем:

\langle\rho\rangle = \dfrac{\mathfrak{M}}{V} = \dfrac{2\cdot 2\cdot 10^{30}\ \text{кг}}{\frac{4}{3}\pi(1.5\cdot 10^{9}\ \text{м})^3} \approx 3\cdot 10^{2}\ \text{кг/м}^3.

Иначе можно сопоставить среднюю плотность звезды со средней плотностью Солнца, равной $1.4\cdot 10^{3}$ кг/м $^3$ , при этом также придется вспомнить радиус Солнца (либо вывести из соотношения видимого и линейного значений):

\dfrac{\langle\rho\rangle}{\langle\rho_{\odot}\rangle} = \dfrac{\mathfrak{M}}{\mathfrak{M}_{\odot}}\cdot\dfrac{V_{\odot}}{V} = \dfrac{\mathfrak{M}}{\mathfrak{M}_{\odot}}\cdot\left(\dfrac{R_{\odot}}{R}\right)^3 = \dfrac{2}{1}\cdot\left(\dfrac{7\cdot 10^5\ \text{км}}{1.5\cdot 10^6\ \text{км}}\right)^3 = 0.2,

откуда $\langle\rho\rangle = 0.2\cdot 1.4\cdot 10^3\ \text{кг/м}^3 = 3\cdot 10^2\ \text{кг/м}^3$ . Переводя это в требуемые в условии единицы, получаем $0.3$ г/см $^3$ .

А.В.Веселова

Оригинал в Архива: theo.pdf