Съдържание

СПбАО 2026, II кръг (очен), 10. клас, файл 10pract.pdf — Задача 1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от СПбАО 2026

XXXIII Санкт-Петербургская Астрономическая олимпиада, практический тур, решения, 10 класс · 15 март 2026 г.

Внимание: Бележка към темата

На странице условия напечатан масштаб «50 микросекунд дуги», тогда как заключительное примечание решения называет «50 миллисекунд дуги» и увеличение величин во второй части в $10^3$ раз. Основной расчёт и это примечание источника сохранены.

Условие

Перед вами — негативное изображение «тени» сверхмассивной черной дыры в центре галактики М87, полученное с помощью Event Horizon Telescope в 2017 году, с указанным угловым масштабом, а также спектр центральных областей галактики с идентифицированными линиями. Пекулярная скорость М87 составляет 170 км/с. Оцените на основании этих данных массу сверхмассивной черной дыры.

Негативное изображение «тени» сверхмассивной черной дыры в М87 в форме размытого кольца с более ярким полумесяцем в нижней части; под изображением масштабная линейка «50 микросекунд дуги». — 50 микросекунд дуги

Спектр центральных областей галактики М87 в диапазоне длин волн 6250–6850 Å; по вертикали поток $F_\lambda$ в единицах $10^{-15}\ \mathrm{эрг/с/см^2/Å}$. Отмечены линии [OI]+[SiII] (~6310 Å), $H_\alpha$ (~6600 Å), [NII] (два подписанных пика по обе стороны от $H_\alpha$), [SiII] (дублет около 6730–6750 Å).

Отговори

Решение

Для начала обратим внимание на идентифицированную линию водорода $H_\alpha$ в спектре центральных областей галактики М87.

Тот же спектр, что и в условии, с добавленной красной вертикальной линией, отмечающей наблюдаемое положение линии $H_\alpha$ (около 6581 Å) относительно лабораторной длины волны.

Измерения линейной показывают, что наблюдаемая длина волны данной линии $\lambda = 6581$ Å. Лабораторную длину волны линии $H_\alpha$ можно либо просто знать ( $\lambda_0 = 6563$ Å), либо вычислить, воспользовавшись формулой Ридберга:

\lambda_0 = 912\ \text{Å} \cdot \left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}\right)^{-1} = \frac{36}{5} \cdot 912\ \text{Å} \approx 6566\ \text{Å}.

Таким образом, лучевая скорость М87

v_r = cz = c \cdot \frac{\lambda - \lambda_0}{\lambda_0} = \frac{18 \cdot 3 \cdot 10^5}{6563} \approx 8 \cdot 10^2\ \mathrm{км/с}.

Пекулярная скорость галактики — это «собственная» скорость галактики, не связанная с космологическим расширением. Поскольку измерить тангенциальную скорость галактики невозможно, то эта скорость должна входить в лучевую, причем, поскольку она положительна, она соответствует удалению галактики от нас. Поэтому вычтем из $v_r$ пекулярную скорость галактики и получим, что компонента лучевой скорости, напрямую связанная с расширением Вселенной, равна $v \approx 6 \cdot 10^2\ \mathrm{км/с}$ . В таком случае расстояние до черной дыры в центре галактики $r = v/H \approx 10\ \mathrm{Мпк}$ , где $H \approx 7 \cdot 10^1\ \mathrm{км/с/Мпк}$ — постоянная Хаббла.

Теперь оценим радиус Шварцшильда $R$ . Для этого воспользуемся масштабом изображения. Изображение черной дыры негативное, поэтому нас интересует угловой размер светлого (а в реальности — темного) пятна посередине. Следует отметить, что качество изображения очень низкое, и граница тени проходит не по границе светлого участка, а по средней изофоте между средним и темным участками — например, в качестве диаметра тени можно использовать характерное расстояние между двумя концами «рогов», составляющее примерно 40 микросекунд дуги. Учтем, что радиус «тени» больше радиуса Шварцшильда примерно в 2.6 раза (если точно, то коэффициент равен $\sqrt{27/4}$ ), и получим, что радиус Шварцшильда соответствует примерно 8 микросекундам дуги.

На расстоянии 10 Мпк одна микросекунда дуги должна соответствовать 10 а.е., таким образом, радиус Шварцшильда составляет 80 а.е. или $1.2 \cdot 10^{13}$ м. Поскольку он связан с массой черной дыры как

R = \frac{2G\mathfrak{M}}{c^2},

получаем массу черной дыры (выражая все величины в СИ)

\mathfrak{M} = \frac{Rc^2}{2G} \approx \frac{1.2 \cdot 10^{13} \cdot 9 \cdot 10^{16}}{2 \cdot 7 \cdot 10^{-11}} \approx 8 \cdot 10^{39}\ \mathrm{кг} = 4 \cdot 10^9\ \mathfrak{M}_\odot.

Реальное значение примерно в полтора раза больше, что обусловлено ошибкой в определении расстояния по спектральным данным (оно несколько больше).

К сожалению, в условии задачи слишком поздно обнаружилась опечатка — угловой масштаб был указан как «50 миллисекунд дуги». При этом общий ход решения задачи остается неизменным, но во второй части все величины увеличиваются в $10^3$ раз, в том числе и итоговый ответ.

С.А.Русаков, И.В.Чугунов

Оригинал в Архива: 10pract.pdf