СПбАО 2026, II кръг (очен), 10. клас, файл 10theo.pdf — Задача 1

• 0.2

  Отношение средней плотности звезды к плотности Солнца, $\rho/\rho_\odot \approx 0.2$.

Для звезд Главной последовательности существуют степенные аппроксимации зависимостей между светимостями $L$, массами $\mathfrak{M}$ и радиусами $R$. Пусть в интересующем нас случае они имеют вид

Кроме этого, мы знаем соотношение между светимостью, радиусом и эффективной температурой $T$:

а интересует нас средняя плотность $\rho \propto \mathfrak{M} \cdot R^{-3}$.

Соотношения для звезд Главной последовательности позволяют сделать вывод, что $\mathfrak{M} \propto R^{\beta/\alpha}$, поэтому средняя плотность зависит от радиуса как

Из соотношения между светимостью и радиусом получаем, что

откуда $R \propto T^{\frac{4}{\beta-2}}$. Таким образом, средняя плотность зависит от эффективной температуры как

Теперь определимся с показателями степени. Эффективная температура не очень велика, соответственно, и масса звезды должна быть умеренной (для сравнения можно вспомнить, например, Сириус А, эффективная температура которого равна $10\cdot10^3$ К, а масса — около $2.5\,\mathfrak{M}_\odot$). Поэтому можно воспользоваться приближенными соотношениями между светимостями $L$, массами $\mathfrak{M}$ и радиусами $R$ звезд Главной последовательности для случая масс, близких к солнечным, а тогда $\alpha \approx 4$, $\beta \approx 5$.

Осталось вычислить ответ. Поскольку эффективная температура интересующей нас звезды в 2 раза больше эффективной температуры Солнца, то ее средняя плотность будет относиться к средней плотности Солнца как