Съдържание

СПбАО 2026, II кръг (очен), 10. клас, файл 10theo.pdf — Задача 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от СПбАО 2026

XXXIII Санкт-Петербургская Астрономическая олимпиада 2026 8 февраля, теоретический тур, решения

Условие

Кубсат пересылает RGB-изображение размером $4096\times4096$ пикселей без сжатия (каждый пиксель кодируется 3 байтами, по 1 байту на цветовой канал) со скоростью 120 Мбит/с. Радиосвязь работает в диапазоне частот $7 \div 11$ ГГц, приемной аппаратурой является стационарная параболическая антенна диаметром 1.6 метра. Требуется ли поворачивать антенну вслед за спутником в процессе передачи одного изображения?

Отговори

Решение

На передачу данных требуется некоторое время, за которое спутник может успеть заметно сместиться по орбите и выйти за пределы диаграмму направленности приемной антенны.

Сначала вычислим объем изображения, памятуя, что в одном байте $2^3=8$ бит, а $1024=2^{10}$ :

4096\times4096\ \text{пикселей}\times 3\ \text{байта/пиксель} = (4\times2^{10})^2\times3 = 3\times2^{24}\ \text{байт} = 3\times2^{27}\ \text{бит}.

Такой объем информации передается со скоростью 120 Мбит/с за время

t = \frac{3\times2^{27}\ \text{бит}}{120\times2^{20}\ \text{бит/с}} = \frac{2^{2+5}}{40} = \frac{32}{10} = 3.2\ \text{секунды}.

Спутник движется с первой космической скоростью вокруг Земли (7.9 км/с), значит, за 3.2 секунды он пройдет расстояние около 25 км. Кубсаты обычно запускают на небольшую высоту, вроде высоты орбиты МКС (400 км), но мы оценим ее как 200 км для усложнения работы антенне. Тогда с точки зрения антенны кубсат пройдет максимально возможный угол на небе, равный $25/200 = 1/8 = 0.125$ радиана.

Оценим ширину диаграммы направленности антенны $\theta$ , она же — дифракционный предел. Длина волны $\lambda$ вычисляется через скорость света $c$ и частоту $\nu$ :

\theta = \frac{\lambda}{D} = \frac{c}{\nu D} = \frac{3\times10^8\ \text{м/с}}{[7-10.7]\times10^9\ \text{Гц}\cdot1.6\ \text{м}} = [0.017; 0.027]\ \text{радиан}

Итак, диаграмма направленности антенны на крайних частотах в несколько раз меньше, чем угол, который пройдет кубсат. Значит, антенне необходимо вести спутник, чтобы гарантированно принять изображение. Если расположить кубсат «повыше», то это еще уменьшит область перекрытия диаграммы направленности и траектории спутника, но итогового ответа не изменит.

Оригинал в Архива: 10theo.pdf