СПбАО 2026, II кръг (очен), 10. клас, файл 10theo.pdf — Задача 3

• Максимальное расстояние до системы — 4 пк; максимальная видимая звездная величина системы $m \approx -2^m$.

  Как отмечено в решении, в реальности такой системы не существует.

Запишем III закон Кеплера, используя систему единиц «масса Солнца – астрономическая единица – год», обозначив орбитальный период $P$, большую полуось системы $a$ и массы компонент $M_1$ и $M_2$:

Отсюда вычисляется большая полуось системы в астрономических единицах: $a = \sqrt[3]{P^2(M_1+M_2)} = 8$ а.е.

Известно, что большая полуось системы — это среднее расстояние между компонентами. Если орбиты круговые, то оно совпадает с максимальным, но при сильно вытянутых орбитах максимальное расстояние может превышать среднее (максимум в 2 раза). Кроме этого, мы наблюдаем систему с некоторого произвольного направления, поэтому отрезок наибольшей длины, соединяющий компоненты, может не лежать в картинной плоскости (и даже быть ей перпендикулярен).

Таким образом, проекция этого отрезка на картинную плоскость может меняться в пределах от $2a$ практически до 0. Очевидно, что достижение нижней границы соответствует тому, что двойная звезда находится совсем рядом с Солнцем (что нереально), а верхняя граница позволяет оценить максимально возможное расстояние от двойной звезды до Солнца. Поскольку $2a=16$ а.е., то под углом $4''$ такой отрезок будет виден с расстояния $16/4=4$ пк.

Теперь определимся с тем, какими могут быть компоненты этой двойной, учитывая, что нас интересует еще и максимальное значение видимой звездной величины (т.е. минимально возможный блеск) системы.

Если обе звезды являются звездами Главной последовательности, то сделанная выше оценка корректна: радиусы звезд в этом случае существенно меньше даже 0.1 а.е., поэтому с той точностью, с которой мы можем получить оценку максимального расстояния между звездами, ее действительно можно принять равной $2a$.

Заметим также, что ни одна из звезд не может быть красным гигантом: это увеличит минимальное расстояние, на которое могут сблизиться звезды, и, как следствие, уменьшит максимальное расстояние между ними (а тем самым и максимально возможное расстояние до системы). Красные гиганты ярче звезд Главной последовательности (при той же массе), расстояние до системы меньше, поэтому минимальную оценку блеска мы тем самым тоже не получим.

Обе компоненты не могут быть белыми карликами или нейтронными звездами: их масса больше и предела Оппенгеймера-Волкова, и тем более предела Чандрасекара. Сразу обе они не могут быть и черными дырами — такую систему нельзя было бы наблюдать. Но вот ситуация, при которой черной дырой является одна из компонент, принципиально возможна. Поскольку нам надо минимизировать блеск системы, делаем вывод: расстояние должно быть максимальным (и равным 4 пк), черной дырой должна быть более массивная компонента (в этом случае блеск системы минимален).

Воспользовавшись соотношением между светимостью и массой звезд Главной последовательности (см. решение задачи № 1), получим, что минимальная светимость системы — $3^4 \approx 80$ светимостей Солнца. Можно «честно» посчитать соответствующую абсолютную звездную величину, но можно также вспомнить, что изменение светимости в 100 раз соответствует изменению абсолютной звездной величины на $5^m$, а разность звездных величин $4^m$ будет соответствовать отношению светимостей примерно в 2.5 раза меньше, т.е. около 40. В интересующем нас случае разность звездных величин должна получаться примерно $4^m.7 \div 4^m.8$, откуда можно сделать вывод, что абсолютная звездная величина системы с хорошей точностью должна равняться $M=0^m$ (аккуратный счет при наличии калькулятора даст результат $-0^m.05$, так что получившаяся оценка вполне работоспособна).

Осталось воспользоваться соотношением между абсолютной звездной величиной, видимой звездной величиной $m$ и расстоянием в парсеках $r$, подставив в него максимально возможное расстояние:

Можно также заметить (особенно если примерное значение $\lg 2 \approx 0.3$ неизвестно), что расстояние 4 пк в 2.5 раза меньше используемого для определения абсолютной звездной величины 10 пк. Поскольку освещенность обратно пропорциональна квадрату расстояния, видимая звездная величина системы должна быть на $2^m$ меньше абсолютной, что мы и получили.

Как несложно заметить, в реальности такой системы не существует: в близких окрестностях Солнца нет настолько массивных звезд.