Съдържание

СПбАО 2026, II кръг (очен), 11. клас, файл 11theo.pdf — Задача 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от СПбАО 2026

XXXIII Санкт-Петербургская Астрономическая олимпиада — теоретический тур, решения · 8 февруари 2026 г.

Условие

Как известно, Полярная звезда имеет видимую звездную величину $+2^m$ и годичный параллакс $0^{\prime\prime}.0075$ . С помощью оптического интерферометра проводят наблюдение диска звезды на длине волны, соответствующей максимуму распределения энергии в ее спектре. Оцените минимально необходимую для разрешения диска звезды базу интерферометра.

Решение

Нужно определить реальные размеры звезды, чтобы затем по угловому размеру диска сделать вывод о необходимой разрешающей способности интерферометра и далее оценить расстояние между антеннами. Сначала оценим светимость звезды по ее абсолютной звездной величине:

M=m+5-5\lg r=m+5-5\lg\frac1\pi=2+5-5\lg133,

\lg133=\lg100+\lg1.33\approx2+\frac{\ln(1+0.33)}{\ln10}\approx2+\frac{0.33}{2.3}=2.1\quad\Rightarrow\quad M=-3^m.6.

Светимость определим, сопоставив звезду с Солнцем:

M=M_\odot-2.5\lg\frac L{L_\odot}\quad\Rightarrow\quad L=10^{0.4(M_\odot-M)}L_\odot=10^{3.4}L_\odot=2.3\cdot10^3L_\odot.

Для определения радиуса воспользуемся законом Стефана–Больцмана, также сопоставив Полярную звезду с Солнцем:

\frac L{L_\odot}=\frac{4\pi R^2\sigma T^4}{4\pi R_\odot^2\sigma T_\odot^4}=\left(\frac R{R_\odot}\right)^2\left(\frac T{T_\odot}\right)^4.

Нужна температура Полярной звезды. Если вспомнить, что звезда выглядит желтоватой (или то, что она является цефеидой, то есть желтым гигантом или сверхгигантом), можно оценить ее температуру как $6\cdot10^3$ K, что фактически совпадает с температурой Солнца. Подставляем:

2.3\cdot10^3=\left(\frac R{R_\odot}\right)^2\quad\Rightarrow\quad\frac R{R_\odot}=\sqrt{2.3\cdot10^3}\approx50.

Полярная звезда — сверхгигант, оценка радиуса вполне реалистична. Оценим видимый угловой диаметр Полярной:

d=\frac{2R}r=\frac{10^2\cdot7\cdot10^5\text{ км}}{133\cdot3\cdot10^{13}\text{ км}}=1.7\cdot10^{-8}\text{ радиан}.

Определим, на какой длине волны проводятся наблюдения. Согласно закону смещения Вина, максимум распределения энергии в спектре обратно пропорционален температуре:

\lambda_{\max}=\frac{0.003\text{ м}\cdot\text{K}}T=\frac{0.003}{6000}=5\cdot10^{-7}\text{ м}.

Допустим, для целей исследования нужно было различить хоть какие-то детали поверхности диска, поэтому предположим, что угловой диаметр Полярной превышал разрешающую способность хотя бы в 5 раз, тогда разрешающая способность должна быть равной $\alpha=3\cdot10^{-9}$ радиан. Значение разрешающей способности связано с базой интерферометра и длиной волны соотношением

\alpha\approx\frac\lambda D\quad\Rightarrow\quad D=\frac\lambda\alpha=\frac{5\cdot10^{-7}}{3\cdot10^{-9}}\approx2\cdot10^2\text{ м}.

В самом деле, такого порядка расстояния между телескопами оптического интерферометра CHARA. Более того, изображение диска Полярной действительно удалось получить (https://iopscience.iop.org/article/10.3847/1538-4357/ad5e7a/pdf).

А.В.Веселова

Теми и трудност

Трудност: неоценена.

Уреди и наблюдения · Звезди · Ъглова разделителна способност · Свойства на звездите

Предпоставки: Разширена олимпиадна подготовка

Оригинал в Архива: 11theo.pdf