СПбАО 2026, II кръг (очен), 11. клас, файл 11theo.pdf — Задача 3

Известно, что фокусное расстояние сферического зеркала составляет половину радиуса кривизны, то есть приемная аппаратура находится в 280 метрах от сферического зеркала. Фокальная поверхность сферического зеркала является сферой такого же радиуса.

Изобразим схему радиотелескопа «сверху». Горизонтальная черная пунктирная линии — меридиан (она же — главная оптическая ось), слева находится север, справа — юг, красным обозначены зеркала, синим — ход радиолучей.

Солнце в день весеннего равноденствия находится на небесном экваторе, поэтому его угловая скорость составляет $\omega_\odot=15°/h$. В момент верхней кульминации его радиолучи падают на плоское зеркало, отражаются вдоль меридиана на сферическое зеркало и попадают на приемную аппаратуру. Понятно, что сферическое зеркало не затеняет их, так как Солнце находится достаточно высоко (даже для Петербурга). Далее Солнце движется к западу, а лучи начинают отражаться от плоского зеркала так как показано на схеме выше. Приемная аппаратура при этом вынуждена двигаться на восток.

Откуда берется виньетирование? Из тех соображений, что не весь поток солнечного радиоизлучения попадает в приемную аппаратуру. То есть существует предельный угол $\alpha$, на который может отойти от меридиана Солнце, чтобы отраженные от плоского зеркала лучи полностью попадали на сферическое зеркало. Понятно, что западная часть плоского зеркала будет отражать радиоизлучение на сферическое зеркало, а вот восточная как раз в некоторый момент отразит свет мимо. Как найти этот предельный угол $\alpha$? Нарисуем ту же схему, но с углами:

Угол $\beta=D/(2R)\approx15°$, тогда $x=R(1-\cos\beta)=560(1-\cos15°)\approx19$ метров. Из рисунка понятно, что

Значит, весь путь Солнца на небе в ходе наблюдения составляет в два раза больше: $13°$. Учет углового диаметра Солнца $0°.5$ уменьшает эту оценку до $12°$, что дает длительность наблюдения, равную 48 минутам.

В.В.Григорьев