СПбАО 2026, II кръг (очен), 11. клас, файл 11theo.pdf — Задача 4

Отметим сразу же, что экран нужен для того, чтобы закрыть «холодную» часть от излучения Солнца (а заодно Земли и Луны). Соответственно, одним из возможных источников дополнительного ускорения может быть давление излучения этих объектов на экран, ускорение при этом будет направлено в сторону от Солнца (и от Земли с Луной — все три объекта находятся с одной стороны от телескопа).

Второй возможный вариант — реактивный эффект, связанный с тем, что поверхность экрана сама испускает тепловое излучение, причем «горячая» сторона светится существенно интенсивнее, чем «холодная», что приводит к появлению ускорения, также направленного от Солнца.

Сначала исключим «лишние» детали: нас интересует оценка, поэтому если среди возможных эффектов есть один, существенно больший остальных, то рассмотрением дополнительных поправок можно не заниматься.

Телескоп находится в точке Лагранжа $L_2$ системы «Солнце–Земля», это примерно 1.5 миллиона км от Земли. Как следствие, можно считать, что расстояние от него до Земли и до Луны примерно одинаково. Поскольку Земля и Луна имеют примерно одну и ту же температуру, то соотношение сил давления их излучения будет определяться соотношением их видимых с телескопа площадей. Земля примерно в 4 раза больше Луны по радиусу, площадь будет больше в 16 раз, следовательно, на фоне Земли световым давлением от Луны можно пренебречь.

Солнце находится от JWST примерно в 100 раз дальше, чем Земля, но при этом имеет радиус также примерно в 100 раз больше. Поэтому угловые размеры Солнца и Земли при наблюдении с JWST будут примерно одинаковыми, и разница в величине светового давления будет определяться эффективной температурой источника излучения, возведенной в четвертую степень. Температура Солнца больше температуры Земли в 20 раз, $20^4$ — $1.6\cdot10^5$, и это означает, что при подсчете светового давления о излучении чего-либо, кроме Солнца, мы можем совершенно спокойно забыть.

По аналогичной причине при подсчете реактивного эффекта можно пренебречь излучением «холодной» стороны: тот же закон Стефана-Больцмана означает, что излучательные способности «горячей» и «холодной» сторон отличаются в $(360/40^4\approx7\cdot10^3$ раз, так что это незначимая для оценки поправка.

Теперь займемся более детальными подсчетами. Поскольку импульс фотона $p=\varepsilon/c$, где $\varepsilon$ — энергия фотона, $c$ — скорость света, то световое давление $P$, создаваемое при освещенности $E$ на поверхности, перпендикулярной направлению распространения излучения, равно

где $\alpha$ — альбедо (отражательная способность) поверхности. Из соображений получения оценочного ответа будем считать, что $\alpha=0$ — это изменит итоговый результат не более чем в 2 раза.

Таким образом, сила светового давления от Солнца, находящегося на расстоянии $a$ от экрана площадью $S$, будет равна

где $L_\odot$ — светимость Солнца. Сразу же вычислим полученное значение, подставляя данные в СИ и ограничившись точностью с одной значащей цифрой:

Теперь займемся оценкой реактивного эффекта. Излучаемые экраном фотоны уходят от него не только перпендикулярно, но для простой оценки будем считать, что все испущенное тепловое излучение направлено в одну сторону — к Солнцу (а возникающая сила тяги, соответственно, в противоположном направлении).

Единица площади поверхности экрана испускает за единицу времени энергию $\sigma T^4$ (тут $\sigma$ — постоянная Стефана-Больцмана, а $T$ — температура экрана), поэтому реактивная сила будет равна

и вычисляя значение (опять используя все данные в СИ), получаем

получившийся эффект оказывается того же порядка, что и предыдущий.

Фактически первое значение несколько больше второго: в первом случае мы пренебрегли тем, что экран может отражать часть излучения (и тем самым немного занизили оценку), во втором — тем, что излучение уходит от экрана в полусферу, а не строго перпендикулярно (и тем самым завысили оценку). Но порядок итогового результата все равно останется тем же самым: на экран будет действовать нескомпенсированная сила порядка $10^{-3}$ Н.

Осталось понять, как по ней найти ускорение. Для этого необходимо знать массу телескопа, помнить которую затруднительно, но ситуацию спасает то, что она тоже нужна лишь с порядковой точностью. Тогда можно рассуждать следующим образом.

JWST — большой телескоп и, соответственно, до перевода в точку $L_2$ — «большой спутник», к каковым традиционно относятся аппараты с массой более 1 тонны. Наверное, он все же существенно более тяжелый, поскольку его выведение в космос было сравнительно сложной задачей. С другой стороны, самая большая полезная нагрузка, которую человечество в принципе умело выводить в космос не по частям, имела массу около 100 тонн. Возьмем «среднее геометрическое» (оно же среднее арифметическое для порядков) и примем, что масса JWST составляет около 10 тонн (заметим, что мы при этом не так уж сильно ошибемся, в реальности это 6 тонн).

Тогда итоговое ускорение

П.А.Тараканов