СПбАО 2026, II кръг (очен), 11. клас, файл 11theo.pdf — Задача 5

Так как сказано, что плазма движется в адиабатическом режиме, значит, можно применить следующее соотношение: $T\rho^{(1-\gamma)}=\mathrm{const}$, где $\gamma$ — показатель адиабаты. Газ представляет собой смесь одномерного электронного и трехмерного протонного в равных пропорциях. Известно, что для идеального газа показатель адиабаты равен $1+2/i$, где $i$ — среднее число степеней свободы, приходящееся на одну частицу. Концентрации протонов и электронов равны, так что $i=2$, и для смеси одномерного электронного и трехмерного протонного газов $\gamma=1+2/2=2$. Тогда

Рассмотрим выделенное поперечное сечение аккреционного канала. Коль скоро аккреция стационарна, то верно: $\rho=\dot M/(vS)$, где $\dot M$ — темп аккреции, $v$ — скорость плазмы в данном сечении, а $S$ — его площадь. Из условия площадь постоянна, темп аккреции — это константа задачи, поэтому: $\rho\propto1/v$. Тогда,

где $r$ — расстояние до центра звезды, а последний переход следует из условия свободного падения плазмы. Поскольку расстояние до центра звезды на высоте, равной ее радиусу, в два раза больше аналогичного на ее поверхности, итоговый ответ: $\sqrt2$.

Более подробное доказательство того, что показатель адиабаты смеси газов равен $\gamma=2$.

Выражение для показателя адиабаты идеального газа может быть получено из первого начала термодинамики, записанного в дифференциальной форме:

Следовательно, нам нужно предъявить выражение такого же вида для случая смеси двух газов. Заметим, что, так как плазма водородная, то концентрация электронов должна быть равна концентрации протонов. То, что плазма полностью ионизована, можно понять, исходя из того, что компактные релятивистские объекты с аккрецией светят в рентгеновском диапазоне, то есть характерные энергии в них составляют несколько кэВ, что много больше значения энергии связи электрона на первом уровне с ядром, которая равна 13.6 эВ.

Далее, так как по условию температуры электронов и ионов равны (в реальности это не гарантировано, более того, достигается далеко не всегда), то, исходя из равенства концентраций, парциальные давления электронов и протонов также равны. Обозначим одно такое парциальное давление $p$. Тогда суммарное давление равно $p_{\mathrm{tot}}=p+p=2p$. Чтобы записать первое начало термодинамики, нам осталось понять, сколько степеней свободы есть у каждого газа. Протоны являются классическим одночастичным газом, поэтому число степеней свободы для них равно $i_p=3$. Электроны, как сказано в условии, участвуют только в одномерном движении. Этот эффект связан с наличием у нейтронной звезды сверхсильного магнитного поля. Исходя из одномерности движения, число электронных степеней свободы равно $i_e=1$. Запишем теперь первое начало термодинамики в дифференциальной форме для электрон-протонной плазмы, адиабатически падающей на полюса нейтронной звезды:

откуда мы видим, что эффективный показатель адиабаты $\gamma_{\mathrm{eff}}$ в данной задаче равен 2.

И.Д.Маркозов