СПбАО 2026, II кръг (очен), 5–6 клас, файл 56pract.pdf — Задача 1

• Расстояние до мечети $r \approx 4$ км; радиус «барабана» $R \approx 23$ м; первым после момента съемки наступит полнолуние (Луна растущая).

  Официальные значения получены по измерениям на напечатанном снимке; конкретные расстояния на снимке могут отличаться из-за особенностей печати.

Решение:

Прежде чем определить угловой размер минарета, нужно определить угловой масштаб изображения $\theta$. Угловой размер Луны $\alpha \approx 30'$. Это число можно помнить, а можно вычислить, помня данные о Луне: ее линейный диаметр и расстояние до нее.

Весь снимок имеет угловой размер примерно в несколько Лун, то есть несколько же градусов, поэтому можно воспользоваться тем фактом, что все измеряемые углы малы. Тогда измеряемые объекты можно представлять маленькими дугами окружности с радиусом $r$, равным расстоянию до них. Тогда угловой размер объекта в градусах будет равен

где $h$ — линейный размер объекта в реальности, $2\pi r$ — полная длина окружности радиуса $r$. Отметим, что тот, кто умеет пользоваться радианной мерой углов, последнюю формулу может написать сразу, без вывода.

Определим линейный размер Луны на изображении $l$. Для начала определим центр изображения. Для этого проводим две хорды и их серединные перпендикуляры. Точка пересечения серединных перпендикуляров — это и есть центр диска Луны. Затем измерим линейкой диаметр Луны на изображении. Получим $l/2 = 3$ см. То есть угловой масштаб изображения $\theta = \alpha/l \approx 10'/\text{см}$.

Измерим линейкой высоту ближайшего минарета на изображении $l$. Получаем $l = 5.2$ см, что соответствует $\alpha = \theta \cdot l = 52'$. Высота минарета $h = 60$ м.

Тогда расстояние до мечети

Заметим, что расстояния до минаретов и до центра мечети немного отличаются, но с той точностью, с которой можно измерить размеры на изображении, это несущественно.

Теперь определим радиус «барабана» $R$. Его диаметр на изображении $l_0 = 4$ см. Тогда, поскольку минарет и купол находятся примерно на одном расстоянии, радиус «барабана»

Остаётся определить, какая из фаз Луны будет первой после момента съемки: новолуние или полнолуние. Заметим, что Стамбул находится в Северном полушарии Земли. Это принципиально важно, так как в Южном полушарии фазы Луны выглядят зеркально отраженными относительно фаз в Северном полушарии. Также Стамбул достаточно далек от экватора, чтобы Луна не «лежала на боку». В северном полушарии для определения фаз Луны можно применять мнемоническое правило: если серп Луны похож на букву «С», то Луна стареющая, а, если с приставленной слева палочкой он похож на букву «Р», то растущая. Изображение негативное, поэтому освещенная часть Луны находится справа и похожа на букву «Р», если приставить палочку. Это говорит о том, что Луна растущая. Следовательно, новолуние уже было и первым после момента съемки наступит полнолуние.

Напоследок приведем оригинал фотографии и заодно заметим, что конкретные расстояния, измеряемые на снимке, могут отличаться от приведенных здесь из-за особенностей печати заданий, однако на получаемые итоговые результаты это никак не влияет.

С.А.Русаков