СПбАО 2026, II кръг (очен), 7–8 клас, файл 78pract.pdf — Задача 1

• Северное полушарие, широта $\varphi = 2^{\circ} \pm 1^{\circ}$; продолжительность съемки $2^h.5 \div 3^h$ (около $2^h\,40^m$).

Решение:

Как известно, Земля вращается вокруг своей оси, из-за чего звезды на небе в течение суток описывают окружности большего или меньшего радиуса в зависимости от их склонения (углового расстояния от небесного экватора), дуги которых будут видны на снимке, сделанном с продолжительной экспозицией. При этом звезды, находящиеся в полюсах мира, должны оставаться на месте и на снимке получатся в виде точки.

На левой части рисунка видно, что звездные треки (окружности) концентрируются вокруг яркой звезды. Это Полярная звезда, которая отстоит от северного полюса мира приблизительно на $1^{\circ}$. В южном полушарии столь же яркой звезды вблизи южного полюса нет: ближайшая к нему звезда — $\sigma$ Октанта — тусклее Полярной примерно в 20 раз.

Известно, что высота полюса мира над горизонтом равна географической широте места наблюдения. Поскольку Полярная звезда в принципе видна, то наблюдатель расположен в Северном полушарии Земли, а так как она находится невысоко над горизонтом, то наблюдатель где-то вблизи от земного экватора.

В левой части снимка, в центре концентрических дуг, находится северный полюс мира $P$. В правой части рисунка южный полюс мира $P'$ расположен под горизонтом; его положение можно найти как центр окружности, образуемой звездными треками (например, методом двух хорд).

Соединив два полюса и измерив линейкой длину отрезка $PP'$, получаем $PP' \approx 135\ \text{мм}$, что соответствует $180^{\circ}$ (угловому расстоянию между полюсами мира). Заметим, что линейные размеры на изображении могли немного измениться из-за особенностей печати условий задачи, однако на ход решения и итоговые ответы это не влияет.

Математический горизонт находим следующим образом: определяем середину отрезка $PP'$ и проводим через нее прямую, параллельную нижнему краю фотографии. Высота полюса мира (Полярной звезды) над горизонтом на снимке составляет приблизительно $h \approx 2\ \text{мм}$. Составляем пропорцию:

откуда

Заметим, что вблизи горизонта существенную роль играет атмосферная рефракция, которая приподнимает видимое положение светила на доли градуса, поэтому широту имеет смысл определять с точностью до градуса. С учетом рефракции истинная широта оказывается ближе к $\varphi \approx 2^{\circ}$.

Также можно оценить погрешность, связанную с точностью измерений. Цена деления шкалы линейки составляет 1 мм, следовательно, погрешность определения широты окажется около $0^{\circ}.7 \approx 1^{\circ}$. Таким образом, формулируем окончательный ответ: $\varphi = 2^{\circ} \pm 1^{\circ}$.

Принципиально возможно также с помощью транспортира измерить угол между небесным экватором (перпендикулярным линии, соединяющей полюса) и горизонтом. Такой метод измерения менее точен, однако при аккуратном выполнении измерений этот угол окажется равным $\theta \approx 88^{\circ}$, и поскольку он дополняет широту до $90^{\circ}$, то итоговая оценка широты оказывается такой же.

Для измерения длительности съемки необходимо определить угловую протяженность звездных треков. Следует выбирать треки, расположенные ближе к горизонту, поскольку вдали от горизонта широкоугольный объектив вносит существенные геометрические искажения.

Полный оборот ($360^{\circ}$) каждая звезда совершает за одни звездные сутки ($23^h\,56^m$; с достаточной точностью их можно принять равными $24^h$). Измерив несколько треков, соответствующих ярким звездам (их сравнительно легко выделить) получаем их угловую протяженность в диапазоне $35^{\circ} \div 40^{\circ}$. Составляем пропорцию (для случая $40^{\circ}$):

и получаем, что время экспозиции составило

Для нескольких разных треков результаты измерения могут несколько различаться (что обусловлено сложностью точного выделения начала и конца трека на изображении), однако во всех случаях результат будет находиться в диапазоне $2^h.5 \div 3^h$, что и является ответом на второй вопрос задачи.

В заключение приведем исходное изображение. Оно получено недалеко от озера Рудольф в северной Кении, широта места съемки действительно $2^{\circ}$ северной широты, а продолжительность — несколько менее 3 часов.

П.А.Тараканов, А.А.Осетрова