Съдържание

Струве 2024, Заключителен етап, 8. клас — Задача 2. Panthera uncia

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Струве 2024

III Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Заключительный этап. 8 класс · 10 т.

Исходное издание

Тренерский штаб сборной России по астрономии и астрофизике. Методическая комиссия Олимпиады школьников по астрономии имени В. Я. Струве. III Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Заключительный этап. Задания, решения и критерии оценивания. Методическое пособие. Москва,2024.

Авторство архивного ключа

УДК 52(076.1). ББК 22.6.

III Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Заключительный этап. Задания, решения и критерии оценивания : методическое пособие / Под ред. И. А. Утешева, А. В. Веселовой — М.: 2024. — 40 с.

Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве проводится для учащихся 7–8-х классов как дополнение к Всероссийской олимпиаде школьников по астрономии, в последних этапах которой принимают участие 9–11-классники. Олимпиада проводится для популяризации астрономии и других естественных наук, а также для выявления на раннем этапе способных и талантливых учащихся и их привлечения к систематическим занятиям астрономией.

Заключительный этап III олимпиады состоялся 16–17 мая 2024 года в распределённом формате в 53 регионах России от Камчатского края до Калининградской области.

Комплект заданий подготовлен методической комиссией олимпиады школьников по астрономии имени В. Я. Струве. struve.astroedu.ru • struve@astroedu.ru

Авторы-составители:

Веселова А. В., СПбГУ (Санкт-Петербург)
Волобуева М. И., ПФМЛ №239 (Санкт-Петербург)
Игнатьев В. Б., лицей №5, ФТЛ (Долгопрудный)
Утешев И. А., МФТИ, ЦПМ (Москва)
Шамбин А. И., АГУ (Республика Адыгея)

Редакторы: Утешев И. А. — письменный тур; Веселова А. В. — онлайн-тур.

Рецензенты: Эскин Б. Б., СПбГУ (Санкт-Петербург); Раменский М. С., НИУ ВШЭ, ЦПМ (Москва).

Тренерский штаб сборной России по астрономии и астрофизике выражает благодарность Министерству просвещения Российской Федерации и Московскому физико-техническому институту за поддержку инициативы по организации олимпиады, а также всех причастных к её проведению, в особенности членов жюри заключительного этапа олимпиады 2024 года: Автаеву А. А., Акметдинова Р. Р., Безбородову И. Н., Беспятого И. В., Венгерскую А. С., Веселову А. В., Голубеву О. Ю., Горбунова Н. А., Игнатьева В. Б., Костину М. В., Леденева Е. И., Орлова И. О., Русакова С. А., Утешева И. А., Шамбина А. И., Шишкину А. Ф.

Письменный тур и принципы оценивания

На письменном туре участникам предложены 6 задач, на выполнение которых отводилось 3 часа 55 минут. Каждая задача предполагает представление развёрнутого письменного решения. Похожие задачи для разных классов имеют одинаковые названия, но разное содержание.

Решение каждого задания оценивается из 10 баллов. Максимальная оценка за тур — 60 баллов.

Принципы оценивания олимпиадных работ

Правильное решение оценивается полным баллом, при этом оно не обязано повторять авторское буквально или логически. Частично верное или совершенно неверное решение оценивается соответственно частичным баллом или нулём.
Решение участника разбивается на логические элементы (шаги). Каждый из шагов оценивается независимо в соответствии с критериями, приведёнными после авторского решения задачи. Оценка за задачу равна сумме оценок за каждый из критериев. За каждый из критериев выставляется целая неотрицательная оценка. Если критерием предусмотрен штраф, он применяется к полной оценке за критерий; штрафы в пределах одного критерия складываются.
Каждый критерий оценивается независимо. За одну и ту же ошибку участник не может быть «наказан» дважды. Так, если критерии подразумевают выполнение последовательности действий и участник допускает ошибку, оценка снижается только за соответствующий шаг, а последующие результаты должны пересчитываться и оцениваться так, будто промежуточный ответ был правильным. Исключение: если участник получил и проигнорировал заведомо абсурдный ответ (конечный или промежуточный), оценка снижается за все связанные критерии вплоть до нуля.
Оригинальные решения, не совпадающие с авторскими, оцениваются по аналогии, если в них возможно выделить аналогичные шаги. Решение участника может оказаться более эффективным, чем авторское. В таком случае «выпадающие» критерии оцениваются в полном объёме.
Если участник совершает ошибку, не предусмотренную в критериях, член жюри самостоятельно определяет величину штрафа. Оценка не снижается за плохой почерк, помарки, недостатки оформления и прочие не относящиеся к сути решения участника элементы, но может быть снижена за запись численных ответов с заведомо абсурдной точностью.
Для выставления справедливой оценки учитывается вся проделанная участником работа. Некоторые правильные идеи и догадки, имеющие отношение к корректному решению задачи, могут быть оценены суммарно в 1–2 балла даже при отсутствии конкретных продвижений.
Не оцениваются элементы, не имеющие отношения к решению конкретной задачи: отвлечённые факты и произвольные формулы. Однако если правильное решение содержит необязательные дополнения и комментарии с грубыми физическими и астрономическими ошибками, оценка может быть снижена.

Условие

Жители некоторой далёкой планеты Ррыр измеряют видимую яркость звёзд и других объектов звёздного неба в «унциях» (uncia, от ūnus — «один»), сравнивая их со священной звездой Ирбис. Как и у жителей Земли, особенности органов чувств ррырцев таковы, что поток энергии от светила связан с субъективным ощущением (которое можно описать в терминах «унций») нелинейно. В таблице приведено соотношение между некоторыми значениями потока энергии $E$ , выраженного в величинах потока $E_0$ от звезды Ирбис, и унциями:

$E/E_0$	1/8	1/4	1/2	1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024
Унции	−9	−6	−3	0	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30

а) Во сколько раз поток энергии от звезды Ирбис больше, чем от самых тусклых звёзд, видимых невооружённым глазом, если их видимая яркость равна −24 унциям?

б) Телескопы жителей Ррыра способны наблюдать звёзды яркостью до −60 унций. Выразите поток энергии от них в сравнении с Ирбисом.

в) Поток энергии от дневной звезды в этой системе (местного «Солнца») в 69 миллиардов раз больше, чем от Ирбиса. Выразите видимую яркость местного «Солнца» в унциях.

г) Астрономы Земли также выражают видимую яркость светил некоторой численной характеристикой, аналогичной унциям. Какая звезда служит стандартом для землян вместо Ирбиса?

Решение

Возможное решение. Можно заметить, что в верхнем ряду таблицы соседние значения $E/E_0$ отличаются в 2 раза и в целом представляют собой ряд целочисленных степеней двойки, а в нижнем ряду разность соседних значений составляет 3 унции. Таким образом, отношение потоков $E/E_0=2^x$ соответствует $3x$ унциям; величина в $m$ унций соответствует потоку

E=E_0\cdot2^{m/3}.

Примечание. Иными словами, когда изменение потока представляет собой показательную функцию, соответствующие «ощущения» изменяются линейно. Этот факт называется психофизиологическим законом Вебера — Фехнера и справедлив для любых раздражителей: звука, света, температуры, вкусовых ощущений и так далее — и в широком диапазоне силы раздражителя. Использование шкалы, в которой источники характеризуются показателем степени, позволяет выбирать начало отсчёта произвольно: разность величин двух источников в унциях не зависит от выбора «нулевого» источника.

а) Заметим, что если $E_1/E_0=E_0/E_2$ , то величины $E_1$ и $E_2$ выражаются количеством унций, одинаковым по модулю и противоположным по знаку. Определяем по таблице, что разнице в 24 унции соответствует отношение потоков в 256 раз.

То же самое возможно заключить, рассчитав, что −24 унции соответствуют потоку

E_A=E_0\cdot2^{-24/3}=\frac{E_0}{256}\approx0.004E_0\quad\Longrightarrow\quad\frac{E_0}{E_A}=256.

б) Заметим, что $60=3\times20$ , то есть для получения ответа необходимо пройти 20 «шагов» удвоения или воспользоваться обнаруженной общей формулой:

E_B=E_0\cdot2^{-60/3}=\frac{E_0}{2^{20}}\approx9.5\cdot10^{-7}E_0.

в) Теперь решаем обратную задачу. Отношение потоков $E_C/E_0=69\cdot10^9=2^{x_c}$ , где $x_c$ — некоторый показатель степени. Наиболее подходящий $x_c$ можно найти перебором:

2^{33}\approx8.6\cdot10^9;\quad2^{35}\approx34\cdot10^9;\quad2^{36}\approx69\cdot10^9\ \checkmark\quad\Longrightarrow\quad x_c=36;

2^{37}\approx14\cdot10^{10};\quad2^{39}\approx55\cdot10^{10}.

Знакомые с функцией логарифма и её свойствами могут вычислить значение $x_c$ на калькуляторе:

x_c=\log_2(69\cdot10^9)=\frac{\lg(69\cdot10^9)}{\lg2}=36.0.

Получаем, что яркость местного «Солнца» в унциях равна $3x_c=36\times3=108$ .

г) Астрономы Земли для описания видимой яркости звёзд используют величину, аналогичную унциям, которая так и называется — звёздная величина. Она отличается от унций основанием степенной зависимости: отличие потоков в 100 раз соответствует 5 звёздным величинам, а также тем, что шкала звёздных величин «перевёрнута»: более ярким звёздам соответствует меньшая звёздная величина; отношение потоков $E/E_0=100^x$ соответствует звёздной величине $-5x$ . В качестве стандарта для визуальных наблюдений, то есть звезды нулевой звёздной величины, исторически выступает звезда Вега ( $\alpha$ Лиры).

Примечание. Сегодня более точные измерения (поскольку никто уже не сравнивает блески звёзд напрямую, удобнее использовать более универсальные эталоны) показывают, что видимая звёздная величина Веги равна около +0.03, но для большинства практических нужд она округляется до нуля. Кстати, показатели цвета Веги в фотометрической системе UBV также положены равными нулю, то есть Вега ещё и эталонно белая звезда.

Критерии оценивания:

Часть	Критерий	Баллы
	Словесное описание соотношения между отношением потоков и величиной в унциях или запись соответствующей формулы	2
а	Рассуждения/выражение и ответ	1 + 1
б	Рассуждения/выражение и ответ	1 + 1
в	Рассуждения/выражение, значение $x_c$ и ответ	1 + 1 + 1
г	Ответ	1
	Всего	10

Примечание. Научное (латинское) название ирбисов (снежных барсов) — Panthera uncia.

Решения

Решения заданий будут опубликованы на сайте struve.astroedu.ru.

Бланк с заготовками

Сдайте этот лист вместе со своей работой!

Лист ______ из ______

Справочные данные

Некоторые основные физические и астрономические постоянные

Гравитационная постоянная	$G = 6.674 \cdot 10^{-11}\ \mathrm{м^3 \cdot кг^{-1} \cdot с^{-2}}$
Скорость света в вакууме	$c = 2.998 \cdot 10^{8}\ \mathrm{м/с}$
Масса протона	$m_p = 1.673 \cdot 10^{-27}\ \mathrm{кг}$
Масса электрона	$m_e = 9.109 \cdot 10^{-31}\ \mathrm{кг}$
Астрономическая единица	$1\ \mathrm{а.\,е.} = 1.496 \cdot 10^{11}\ \mathrm{м}$
Парсек	$1\ \mathrm{пк} = 206\,265\ \mathrm{а.\,е.} = 3.086 \cdot 10^{16}\ \mathrm{м}$
Световой год	$1\ \mathrm{св.\ год} = 365.25\ \mathrm{сут.} \times c = 9.461 \cdot 10^{15}\ \mathrm{м}$

Данные о Солнце, Земле и Луне

Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot} = -26.8^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot,\,\mathrm{eff}} = 5.8 \cdot 10^{3}\ \mathrm{К}$
Поток энергии на расстоянии Земли	$E_{\odot} = 1.4 \cdot 10^{3}\ \mathrm{Вт/м^2}$
Тропический год	$= 365.24219\ \mathrm{сут.}$
Сидерический (орбитальный) период	$= 365.25636\ \mathrm{сут.}$
Средняя орбитальная скорость	$= 29.8\ \mathrm{км/с}$
Звёздные сутки	$= 23\ \mathrm{ч}\ 56\ \mathrm{мин}\ 04\ \mathrm{с}$
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon = 23.44^{\circ}$
Сидерический месяц	$= 27.32\ \mathrm{сут.}$
Синодический месяц	$= 29.53\ \mathrm{сут.}$
Ускорение свободного падения на поверхности Земли	$g = 9.8\ \mathrm{м/с^2} = 9.8\ \mathrm{Н/кг}$

Характеристики Солнца, планет Солнечной системы и Луны

		Радиус орбиты, а. е.	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, $10^3$ км	Осевой период
☉	Солнце			$1.989 \cdot 10^{30}$	697	25.38 сут.
☿	Меркурий	0.3871	87.97 сут.	$3.302 \cdot 10^{23}$	2.44	58.65 сут.
♀	Венера	0.7233	224.70 сут.	$4.869 \cdot 10^{24}$	6.05	243.02 сут.
⊕	Земля	1.0000	см. выше	$5.974 \cdot 10^{24}$	6.37	23.93 ч
☾	↪ Луна	0.0026	27.32 сут.	$7.348 \cdot 10^{22}$	1.74	синхр.
♂	Марс	1.5237	686.98 сут.	$6.419 \cdot 10^{23}$	3.40	24.62 ч
♃	Юпитер	5.2028	11.862 лет	$1.899 \cdot 10^{27}$	71.5	9.92 ч
♄	Сатурн	9.5388	29.458 лет	$5.685 \cdot 10^{26}$	60.3	10.66 ч
⛢	Уран	19.1914	84.01 лет	$8.683 \cdot 10^{25}$	25.6	17.24 ч
♆	Нептун	30.0611	164.79 лет	$1.024 \cdot 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Онлайн-тур: граница архивного источника

На онлайн-туре участники выполняли задания в системе тестирования. Комплект для каждого класса содержит 24 задания: вопросы на общие астрономические знания, упражнения для демонстрации практических навыков и простые вычислительные задачи. На выполнение заданий отводился 1 час 30 минут.

Для каждого задания оценивается только представленный участником ответ, оценка составляет 1–2 балла в зависимости от сложности задания и количества подвопросов. Максимальная оценка за тур — 40 баллов.

С полным содержанием комплекта в системе тестирования возможно ознакомиться на сайте олимпиады struve.astroedu.ru.

Примечание читателя к источнику. Страница 39 сообщает только общие сведения и внешнюю ссылку. Условий и ответов онлайн-тура в данном архивном PDF нет; письменные шесть задач каждого класса не дополнены вымышленными онлайн-заданиями.

Примечание читателя: архивные источники

Полные справочные данные повторяются на странице40 ключа и в последней странице отдельного файла условий; таблицы сохранены выше из отдельного файла условий. Архивный ключ печатает авторство методической комиссии и редакторов. Решения атрибутированы архивному изданию; факт отдельного официального размещения этих конкретных архивных байтов не заявлен. Историческая сноска условий о будущей публикации решений сохранена как исходный текст, но найденный40-страничный ключ теперь приведён полностью для соответствующего класса.

Примечание читателя к задаче 8.1

В примечании 3 напечатано $R_0/R$ , хотя ранее $R$ обозначал меньший сгусток. Напечатанные обратные отношения 1.12 и 1.77 и обозначение сохранены; замены переменных не вносились.

Примечание читателя к задаче 8.5

В числителях двух первых формул страница 33 печатает «св. лет». Эти единицы сохранены буквально; исходный график откладывает время в годах. Различные пройденные пути и все обсуждаемые авторским ключом варианты также сохранены.

Оригинал в Архива: struve-2024-final-prob-T-8.pdf · решение от архива: struve-2024-final-sol-T.pdf