Съдържание

Струве 2024, Заключителен етап, 8. клас — Задача 3. Далеко пойдёт

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Струве 2024

III Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Заключительный этап. 8 класс · 10 т.

Исходное издание

Тренерский штаб сборной России по астрономии и астрофизике. Методическая комиссия Олимпиады школьников по астрономии имени В. Я. Струве. III Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Заключительный этап. Задания, решения и критерии оценивания. Методическое пособие. Москва,2024.

Авторство архивного ключа

УДК 52(076.1). ББК 22.6.

III Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Заключительный этап. Задания, решения и критерии оценивания : методическое пособие / Под ред. И. А. Утешева, А. В. Веселовой — М.: 2024. — 40 с.

Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве проводится для учащихся 7–8-х классов как дополнение к Всероссийской олимпиаде школьников по астрономии, в последних этапах которой принимают участие 9–11-классники. Олимпиада проводится для популяризации астрономии и других естественных наук, а также для выявления на раннем этапе способных и талантливых учащихся и их привлечения к систематическим занятиям астрономией.

Заключительный этап III олимпиады состоялся 16–17 мая 2024 года в распределённом формате в 53 регионах России от Камчатского края до Калининградской области.

Комплект заданий подготовлен методической комиссией олимпиады школьников по астрономии имени В. Я. Струве. struve.astroedu.ru • struve@astroedu.ru

Авторы-составители:

Веселова А. В., СПбГУ (Санкт-Петербург)
Волобуева М. И., ПФМЛ №239 (Санкт-Петербург)
Игнатьев В. Б., лицей №5, ФТЛ (Долгопрудный)
Утешев И. А., МФТИ, ЦПМ (Москва)
Шамбин А. И., АГУ (Республика Адыгея)

Редакторы: Утешев И. А. — письменный тур; Веселова А. В. — онлайн-тур.

Рецензенты: Эскин Б. Б., СПбГУ (Санкт-Петербург); Раменский М. С., НИУ ВШЭ, ЦПМ (Москва).

Тренерский штаб сборной России по астрономии и астрофизике выражает благодарность Министерству просвещения Российской Федерации и Московскому физико-техническому институту за поддержку инициативы по организации олимпиады, а также всех причастных к её проведению, в особенности членов жюри заключительного этапа олимпиады 2024 года: Автаеву А. А., Акметдинова Р. Р., Безбородову И. Н., Беспятого И. В., Венгерскую А. С., Веселову А. В., Голубеву О. Ю., Горбунова Н. А., Игнатьева В. Б., Костину М. В., Леденева Е. И., Орлова И. О., Русакова С. А., Утешева И. А., Шамбина А. И., Шишкину А. Ф.

Письменный тур и принципы оценивания

На письменном туре участникам предложены 6 задач, на выполнение которых отводилось 3 часа 55 минут. Каждая задача предполагает представление развёрнутого письменного решения. Похожие задачи для разных классов имеют одинаковые названия, но разное содержание.

Решение каждого задания оценивается из 10 баллов. Максимальная оценка за тур — 60 баллов.

Принципы оценивания олимпиадных работ

Правильное решение оценивается полным баллом, при этом оно не обязано повторять авторское буквально или логически. Частично верное или совершенно неверное решение оценивается соответственно частичным баллом или нулём.
Решение участника разбивается на логические элементы (шаги). Каждый из шагов оценивается независимо в соответствии с критериями, приведёнными после авторского решения задачи. Оценка за задачу равна сумме оценок за каждый из критериев. За каждый из критериев выставляется целая неотрицательная оценка. Если критерием предусмотрен штраф, он применяется к полной оценке за критерий; штрафы в пределах одного критерия складываются.
Каждый критерий оценивается независимо. За одну и ту же ошибку участник не может быть «наказан» дважды. Так, если критерии подразумевают выполнение последовательности действий и участник допускает ошибку, оценка снижается только за соответствующий шаг, а последующие результаты должны пересчитываться и оцениваться так, будто промежуточный ответ был правильным. Исключение: если участник получил и проигнорировал заведомо абсурдный ответ (конечный или промежуточный), оценка снижается за все связанные критерии вплоть до нуля.
Оригинальные решения, не совпадающие с авторскими, оцениваются по аналогии, если в них возможно выделить аналогичные шаги. Решение участника может оказаться более эффективным, чем авторское. В таком случае «выпадающие» критерии оцениваются в полном объёме.
Если участник совершает ошибку, не предусмотренную в критериях, член жюри самостоятельно определяет величину штрафа. Оценка не снижается за плохой почерк, помарки, недостатки оформления и прочие не относящиеся к сути решения участника элементы, но может быть снижена за запись численных ответов с заведомо абсурдной точностью.
Для выставления справедливой оценки учитывается вся проделанная участником работа. Некоторые правильные идеи и догадки, имеющие отношение к корректному решению задачи, могут быть оценены суммарно в 1–2 балла даже при отсутствии конкретных продвижений.
Не оцениваются элементы, не имеющие отношения к решению конкретной задачи: отвлечённые факты и произвольные формулы. Однако если правильное решение содержит необязательные дополнения и комментарии с грубыми физическими и астрономическими ошибками, оценка может быть снижена.

Условие

Начинающий астроном решил совершить длительное путешествие. Оно начнётся в пункте, где Большой Ковш (астеризм в созвездии Большая Медведица) всегда целиком находится над горизонтом, а завершится в пункте, где ни одну звезду Ковша увидеть нельзя. Определите наименьшую возможную длину маршрута.

Название	Прямое восхождение	Склонение
Дубхе	$11^{\mathrm{h}}\,04^{\mathrm{m}}$	$+61^{\circ}\,45'$
Мерак	$11^{\mathrm{h}}\,02^{\mathrm{m}}$	$+56^{\circ}\,23'$
Фекда	$11^{\mathrm{h}}\,54^{\mathrm{m}}$	$+53^{\circ}\,42'$
Мегрец	$12^{\mathrm{h}}\,15^{\mathrm{m}}$	$+57^{\circ}\,02'$
Алиот	$12^{\mathrm{h}}\,54^{\mathrm{m}}$	$+55^{\circ}\,58'$
Мицар	$13^{\mathrm{h}}\,24^{\mathrm{m}}$	$+54^{\circ}\,56'$
Бенетнаш	$13^{\mathrm{h}}\,48^{\mathrm{m}}$	$+49^{\circ}\,19'$

Фотография участка звёздного неба (негатив: чёрные точки на белом фоне) с семью яркими звёздами Большого Ковша и множеством слабых звёзд; подписей нет.

Решение

Возможное решение. Большая Медведица — созвездие северного неба. Большой Ковш будет находиться целиком над горизонтом на протяжении суток в северных широтах. Недоступным для наблюдения этот астеризм будет уже в Южном полушарии, довольно далеко от экватора.

Длина маршрута окажется наименьшей, если двигаться вдоль меридиана от самой южной параллели, на которой Ковш всегда выше горизонта, до самой северной параллели, на которой не видна ни одна звезда Ковша. Определим широты соответствующих параллелей.

Для того, чтобы Ковш всегда находился над горизонтом, необходимо, чтобы все его звезды были незаходящими, в том числе и самая южная, то есть звезда с наименьшим склонением — Бенетнаш. Следовательно, высота нижней кульминации этой звезды должна быть не меньше нуля. Запишем формулу для высоты нижней кульминации, подставим склонение звезды Бенетнаш:

h_\text{нк}=|\varphi+\delta|-90^\circ\ge0\quad\Longrightarrow\quad|\varphi+49^\circ19'|-90^\circ\ge0^\circ\quad\Longrightarrow\quad\varphi\ge\varphi_1=40^\circ41'.

Для того, чтобы Ковш не был виден, необходимо, чтобы все его звезды являлись невосходящими, в том числе и самая южная из звезд. Следовательно, высота верхней кульминации звезды Бенетнаш должна быть меньше нуля. Запишем формулу для высоты верхней кульминации, подставим склонение звезды Бенетнаш:

h_\text{вк}=90^\circ-|\varphi-\delta|<0\quad\Longrightarrow\quad90^\circ-|\varphi-49^\circ19'|<0^\circ\quad\Longrightarrow\quad\varphi\le\varphi_2=-40^\circ41'.

Расстояние по широте между двумя граничными параллелями составит тогда $40^\circ41'-(-40^\circ41')=81^\circ22'$ .

Вспомним, что длина экватора составляет около 40 тыс. км, тогда расстояние между параллелями вдоль меридиана оценим как

\frac{81^\circ22'}{360^\circ}\times4\cdot10^4\text{ км}\approx9\cdot10^3\text{ км}.

Примечание. Заметим, что прямолинейный маршрут по суше невозможен: если предположить, что начало маршрута находилось в Евразии, то завершать маршрут пришлось бы на юге Африки, но её самая южная точка находится почти на 6 градусов севернее требуемой условиями задачи параллели. Южная Америка достигает требуемой южной широты, но тогда начинать маршрут пришлось бы в Северной Америке и двигаться не строго на юг, а частично и на восток. Маршрут по воде возможен, причем как в Атлантическом, так и в Тихом океане.

Критерии оценивания:

№	Критерий	Баллы
1	Значение для решения могут иметь звёзды с наибольшим и наименьшим склонениями	2
2	Незаходящий Ковш. Условие для нижней кульминации, расчёт широты северной границы	3
3	Невосходящий Ковш. Условие для верхней кульминации, расчёт широты южной границы	3
4	Разница широт и определение длины маршрута	2
	Всего	10

Примечание. «Далеко пойти» — устойчивое сочетание (фразеологизм), применяемый в значении «добиться больших успехов в жизни, достичь больших результатов в чём-либо». Чего мы желаем и всем участникам олимпиады!

Решения

Решения заданий будут опубликованы на сайте struve.astroedu.ru.

Бланк с заготовками

Сдайте этот лист вместе со своей работой!

Лист ______ из ______

Справочные данные

Некоторые основные физические и астрономические постоянные

Гравитационная постоянная	$G = 6.674 \cdot 10^{-11}\ \mathrm{м^3 \cdot кг^{-1} \cdot с^{-2}}$
Скорость света в вакууме	$c = 2.998 \cdot 10^{8}\ \mathrm{м/с}$
Масса протона	$m_p = 1.673 \cdot 10^{-27}\ \mathrm{кг}$
Масса электрона	$m_e = 9.109 \cdot 10^{-31}\ \mathrm{кг}$
Астрономическая единица	$1\ \mathrm{а.\,е.} = 1.496 \cdot 10^{11}\ \mathrm{м}$
Парсек	$1\ \mathrm{пк} = 206\,265\ \mathrm{а.\,е.} = 3.086 \cdot 10^{16}\ \mathrm{м}$
Световой год	$1\ \mathrm{св.\ год} = 365.25\ \mathrm{сут.} \times c = 9.461 \cdot 10^{15}\ \mathrm{м}$

Данные о Солнце, Земле и Луне

Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot} = -26.8^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot,\,\mathrm{eff}} = 5.8 \cdot 10^{3}\ \mathrm{К}$
Поток энергии на расстоянии Земли	$E_{\odot} = 1.4 \cdot 10^{3}\ \mathrm{Вт/м^2}$
Тропический год	$= 365.24219\ \mathrm{сут.}$
Сидерический (орбитальный) период	$= 365.25636\ \mathrm{сут.}$
Средняя орбитальная скорость	$= 29.8\ \mathrm{км/с}$
Звёздные сутки	$= 23\ \mathrm{ч}\ 56\ \mathrm{мин}\ 04\ \mathrm{с}$
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon = 23.44^{\circ}$
Сидерический месяц	$= 27.32\ \mathrm{сут.}$
Синодический месяц	$= 29.53\ \mathrm{сут.}$
Ускорение свободного падения на поверхности Земли	$g = 9.8\ \mathrm{м/с^2} = 9.8\ \mathrm{Н/кг}$

Характеристики Солнца, планет Солнечной системы и Луны

		Радиус орбиты, а. е.	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, $10^3$ км	Осевой период
☉	Солнце			$1.989 \cdot 10^{30}$	697	25.38 сут.
☿	Меркурий	0.3871	87.97 сут.	$3.302 \cdot 10^{23}$	2.44	58.65 сут.
♀	Венера	0.7233	224.70 сут.	$4.869 \cdot 10^{24}$	6.05	243.02 сут.
⊕	Земля	1.0000	см. выше	$5.974 \cdot 10^{24}$	6.37	23.93 ч
☾	↪ Луна	0.0026	27.32 сут.	$7.348 \cdot 10^{22}$	1.74	синхр.
♂	Марс	1.5237	686.98 сут.	$6.419 \cdot 10^{23}$	3.40	24.62 ч
♃	Юпитер	5.2028	11.862 лет	$1.899 \cdot 10^{27}$	71.5	9.92 ч
♄	Сатурн	9.5388	29.458 лет	$5.685 \cdot 10^{26}$	60.3	10.66 ч
⛢	Уран	19.1914	84.01 лет	$8.683 \cdot 10^{25}$	25.6	17.24 ч
♆	Нептун	30.0611	164.79 лет	$1.024 \cdot 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Онлайн-тур: граница архивного источника

На онлайн-туре участники выполняли задания в системе тестирования. Комплект для каждого класса содержит 24 задания: вопросы на общие астрономические знания, упражнения для демонстрации практических навыков и простые вычислительные задачи. На выполнение заданий отводился 1 час 30 минут.

Для каждого задания оценивается только представленный участником ответ, оценка составляет 1–2 балла в зависимости от сложности задания и количества подвопросов. Максимальная оценка за тур — 40 баллов.

С полным содержанием комплекта в системе тестирования возможно ознакомиться на сайте олимпиады struve.astroedu.ru.

Примечание читателя к источнику. Страница 39 сообщает только общие сведения и внешнюю ссылку. Условий и ответов онлайн-тура в данном архивном PDF нет; письменные шесть задач каждого класса не дополнены вымышленными онлайн-заданиями.

Примечание читателя: архивные источники

Полные справочные данные повторяются на странице40 ключа и в последней странице отдельного файла условий; таблицы сохранены выше из отдельного файла условий. Архивный ключ печатает авторство методической комиссии и редакторов. Решения атрибутированы архивному изданию; факт отдельного официального размещения этих конкретных архивных байтов не заявлен. Историческая сноска условий о будущей публикации решений сохранена как исходный текст, но найденный40-страничный ключ теперь приведён полностью для соответствующего класса.

Примечание читателя к задаче 8.1

В примечании 3 напечатано $R_0/R$ , хотя ранее $R$ обозначал меньший сгусток. Напечатанные обратные отношения 1.12 и 1.77 и обозначение сохранены; замены переменных не вносились.

Примечание читателя к задаче 8.5

В числителях двух первых формул страница 33 печатает «св. лет». Эти единицы сохранены буквально; исходный график откладывает время в годах. Различные пройденные пути и все обсуждаемые авторским ключом варианты также сохранены.

Оригинал в Архива: struve-2024-final-prob-T-8.pdf · решение от архива: struve-2024-final-sol-T.pdf