Съдържание

Струве 2025, Заключителен етап, 7. клас — Задача 2. Труба на Европу

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Струве 2025

IV Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Заключительный этап. 7 класс · 10 т.

Внимание: Бележка към темата

Решения и критерии перенесены из архивного методического пособия заключительного этапа 2025 года. В исходнике сохранены отдельные несогласованные числовые значения; примечания к решениям указывают их без исправления оригинала. Тексты компьютерного тура в этом PDF не приведены.

Задача 7.4. Примечание к архивному тексту: ключ использует радиус Солнца 696000 км; справочные данные печатают $697\times10^3$ км. Оба исходных значения сохранены.

Задача 7.5. Примечание к архивному тексту: именно $12.00''$ напечатано в этой строке ключа. Условие и повторённое условие в ключе печатают $1^\circ10'00.00''$ ; исходные числовые значения и результат не исправлены.

Обложка методического пособия

Тренерский штаб сборной России по астрономии и астрофизике Методическая комиссия олимпиады школьников по астрономии имени В. Я. Струве IV Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве Заключительный этап Задания, решения и критерии оценивания Методическое пособие Москва 2025

Выходные сведения, авторы и жюри

УДК 52(076.1) ББК 22.6 IV Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Заключительный этап. Задания, решения и критерии оценивания : методическое пособие / Под ред. И. А. Утешева, А. В. Веселовой — М.: 2025. — 50 с. Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве проводится для учащихся 7–8-х классов как дополнение к Всероссийской олимпиаде школьников по астрономии, в последних этапах которой принимают участие 9–11-классники. Олимпиада проводится для популяризации астрономии и других естественных наук, а также для выявления на раннем этапе способных и талантливых учащихся и их привлечения к систематическим занятиям астрономией. Заключительный этап IV олимпиады состоялся 24–25 апреля 2025 года в распределённом формате в 65 регионах России от Чукотского автономного округа до Калининградской области. Комплект заданий подготовлен методической комиссией олимпиады школьников по астрономии имени В. Я. Струве struve.astroedu.ru • struve@astroedu.ru Авторысоставители: Веселова А. В., СПбГУ (Санкт-Петербург) Волобуева М. И., ПФМЛ №239 (Санкт-Петербург) Зворыкин И. А., МФТИ (Москва) Утешев И. А., МФТИ, ЦПМ (Москва) Шамбин А. И., АГУ (Республика Адыгея) Шишкина А. Ф., УУНИТ (Республика Башкортостан) Редакторы: Утешев И. А. — письменный тур Веселова А. В. — онлайн-тур Рецензенты: Эскин Б. Б., СПбГУ (Санкт-Петербург) Булыгин И. И., МГУ им. М. В. Ломоносова, ЦПМ (Москва) Тренерский штаб сборной России по астрономии и астрофизике выражает благодарность Министерству просвещения Российской Федерации и Московскому физико-техническому институту за поддержку инициативы по организации олимпиады, а также всех причастных к её проведению, в особенности членов жюри заключительного этапа олимпиады 2025 года: Автаеву А. А., Безбородову И. Н., Булыгина И. И., Веселову А. В., Зворыкина И. А., Иванова Е. С., Кирсанкину А. П., Кованкина А. С., Комкова Н. Н., Леденева Е. И., Орлова И. О., Русакова С. А., Санковского Д. Е., Телелюхина К. С., Утешева И. А., Федорова В. С., Шишкину А. Ф., Южакова И. И.

Содержание методического пособия

Содержание I Письменный тур 4 7 класс 6 7.1 Один день решает судьбу империи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 7.2 Труба на Европу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 7.3 Трое на орбите ждут Рассветы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 7.4 Вне Земли от счастья . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 7.5 Да-да, созвездие Кота . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 7.6 Чашу огня в небо поднять . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 8 класс 29 8.1 Один день решает судьбу империи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 8.2 Мальчик, который гулял сам по себе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 8.3 Марс и Юпитер, или N лет спустя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 8.4 Ой, не преувеличивай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 8.5 Живите сегодняшним днём! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 8.6 Чашу огня в небо поднять . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 II Онлайн-тур 49 Справочные данные 50

Общие указания для жюри

IV Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Заключительный этап 4 Часть I Письменный тур На письменном туре участникам предложены 6 задач, на выполнение которых отводилось 3 часа 55 минут. Каждая задача предполагает представление развёрнутого письменного решения. Решение каждого задания оценивается из 10 баллов. Максимальная оценка за тур — 60 баллов. Принципы оценивания олимпиадных работ 1. Правильное решение оценивается полным баллом, при этом оно не обязано повторять авторское буквально или логически. Частично верное или совершенно неверное решение оценивается соответственно частичным баллом или нулём. 2. Решение участника разбивается на логические элементы (шаги). Каждый из шагов оценивается независимо в соответствии с критериями, приведёнными после авторского решения задачи. Оценка за задачу равна сумме оценок за каждый из критериев. За каждый из критериев выставляется неотрицательная оценка. Если критерием предусмотрен штраф, он применяется к полной оценке за критерий; штрафы в пределах одного критерия складываются. 3. Каждый критерий оценивается независимо. За одну и ту же ошибку участник не может быть «наказан» дважды. Однако если участник получил и проигнорировал заведомо абсурдный результат, оценка может быть снижена вплоть до нуля. 4. Оригинальные решения, не совпадающие с авторскими, оцениваются по аналогии, если в них возможно выделить аналогичные шаги. Решение участника может оказаться более эффективным, чем авторское. В таком случае «выпадающие» критерии оцениваются в полном объёме. 5. Если участник совершает ошибку, не предусмотренную в критериях, член жюри самостоятельно определяет величину штрафа. Оценка не снижается за плохой почерк, помарки, недостатки оформления и прочие не относящиеся к сути решения участника элементы, но может быть снижена за запись численных ответов с заведомо абсурдной точностью.

Общие указания для жюри — продолжение

IV Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Заключительный этап 5 6. Для выставления справедливой оценки учитывается вся проделанная участником работа. Некоторые правильные идеи и догадки, имеющие отношение к корректному решению задачи, могут быть (на усмотрение членов жюри) оценены суммарно в 1–2 балла даже при отсутствии конкретных продвижений. 7. Не оцениваются элементы, не имеющие отношения к решению конкретной задачи: отвлечённые факты и произвольные формулы. Однако если правильное решение содержит необязательные дополнения и комментарии с грубыми физическими и астрономическими ошибками, оценка может быть снижена. 8. Каждая задача проверяется независимо двумя членами жюри. В протокол жюри вносится одна согласованная оценка за задачу. Если устранить разногласия не удалось, окончательное решение принимает председатель жюри или уполномоченный им член жюри.

Условие

Однажды вечером скучающий инопланетянин Гигос XZ решил полететь на Землю, чтобы познакомиться с местными жителями. Гигос ХZ живет на планете Терра, вращающейся вокруг звезды Гли, похожей на Солнце. Расстояние от Гли до Солнца составляет 10 парсек.

До Земли Гигос планирует добраться так:

До Европы (спутника Юпитера) он двигается по гиперпространственной транспортной трубе «Квантовый поток» со скоростью $v_0 = 4$ световых года в час.
После выхода из трубы Гигосу понадобится 3 часа на перезарядку систем корабля и улаживание таможенных формальностей.
Далее Гигос продолжает движение по Солнечной системе на своём корабле со скоростью $u_0 = 1$ астрономическая единица в час.

Задания:

а) Сколько времени может занять вышеописанное путешествие Гигоса до Земли? Рассмотрите все возможные варианты.

б) На корабле Гигоса есть $k$ -ускоритель, который позволяет передвигаться в гипертрубе со скоростью $v = kv_0$ , где $k > 0$ . Однако после использования ускорителя скорость вне трубы из-за усталости двигателей также изменится и станет равной $u = \frac{1}{k} u_0$ . Найдите оптимальное (то есть позволяющее достигнуть Земли за наименьшее время) значение настройки $k$ , если Юпитер находится на минимально возможном расстоянии от Земли.

Подсказка: минимум функции $y(x) = ax + \frac{b}{x}$ при $a, b, x > 0$ достигается при $x = \sqrt{\frac{b}{a}}$ .

в) Вычислите среднюю скорость движения Гигоса на протяжении всего путешествия без ускорителя и со включённым $k$ -ускорителем при оптимальной настройке при том же положении Юпитера. Выразите ответы в единицах скорости света.

Решение

Возможное решение. Для начала определим время движения Гигоса по трубе без включения ускорителя. Переведём парсеки в световые годы, например, воспользовавшись сведениями из выданных справочных данных о выражении каждой из указанных величин в метрах:

1\ \text{пк}=\frac{3.086\cdot10^{16}\ \text{м}}{9.461\cdot10^{15}\ \text{м}}\approx3.26\ \text{св. лет}.

Тогда путешествие по трубе занимает

t_0=\frac{10\ \text{пк}}{v_0}=\frac{10\times3.26\ \text{св. год}}{4\ \text{св. год/ч}}=8.15\ \text{ч}.

Расстояние $d$ , которое Гигосу необходимо пролететь по Солнечной системе, зависит от взаимного расположения Земли и Юпитера (см. рис. 1). Расстоянием между Юпитером и Европой, очевидно, можно пренебречь ввиду его малости по сравнению с межпланетными расстояниями.

Расстояния Земля—Юпитер при минимальном и максимальном удалении — Рис. 1: Взаимные расположения Земли и Юпитера (не в масштабе)

Минимальное расстояние $d_{\min}$ достигается, когда Земля и Юпитер расположены на одной прямой по одну сторону от Солнца. В этом случае расстояние равно разности радиусов орбит планет:

d_{\min}=r_{\text{Ю}}-r_\oplus=5.2-1.0=4.2\ \text{а. е.}

Максимальное расстояние $d_{\max}$ между планетами достигается также при их расположении на одной прямой, но с разных сторон от Солнца. Из рисунка видно, что в таком случае

d_{\max}=r_{\text{Ю}}+r_\oplus=5.2+1.0=6.2\ \text{а. е.}

Таким образом при перемещении со скоростью $u_0=1$ а. е./час путь по Солнечной системе занимает время $\tau_0=d/u_0$ , лежащее в пределах от 4.2 до 6.2 часов. С учётом вынужденной остановки после выхода из трубы общее время путешествия составит от $8.15+3+4.2=15.35$ ч до $8.15+3+6.2=17.35$ ч.

При включении $k$ -ускорителя скорость в трубе увеличится в $k$ раз, а время путешествия по трубе во столько же раз уменьшится: $t_k=t_0/k=8.15/k$ часов. Напротив, вне трубы скорость уменьшится в $k$ раз, а время в пути увеличится соответственно: $\tau_k=k\tau_0=4.2k$ часов. Необходимо найти, при каком значении параметра $k$ сумма $t_k+\tau_k=8.15/k+4.2k$ [ч] достигает наименьшего значения.

Воспользуемся подсказкой. Положив $a=4.2$ и $b=8.15$ , получаем минимум выражения $ak+b/k$ при значении

k=\sqrt{\frac{8.15}{4.2}}\approx1.39.

При этом общее время путешествия составит

\frac{8.15}{1.39}+3+4.2\times1.39=14.7\ (\text{ч}).

Следовательно, увеличив скорость в гипертрубе на 39 %, удастся выиграть совсем немного времени: $15.35-14.7=0.65$ часа, то есть 39 минут.

Осталось вычислить средние скорости. Для этого необходимо всё пройденное расстояние разделить на общую продолжительность путешествия. Очевидно, общий путь можем принять равным 10 парсекам = 32.6 световым годам: несколько астрономических единиц ничтожно малы по сравнению с этим расстоянием.

Гигос без включения ускорителя за 15.35 часов преодолел расстояние, которое свет проходит за 32.6 лет. Тогда его средняя скорость в единицах скорости света $c$ есть

V_1=\frac{32.6\ \text{лет}}{15.35\ \text{ч}}\times c=\frac{32.6\times365.25\times24}{15.35}\times c\approx18.6\cdot10^3c.

Аналогично, для случая со включённым ускорителем

V_k=\frac{32.6\ \text{лет}}{14.7\ \text{ч}}\times c=\frac{32.6\times365.25\times24}{14.7}\times c=\frac{15.35}{14.7}\times18.6\cdot10^3c\approx19.4\cdot10^3c.

Очевидно, Гигос не мог двигаться в «обычном» пространстве с такими скоростями: предельная скорость движения объектов в известной нам «плоской» Вселенной ограничена скоростью света. Развитая цивилизация, однако!

Критерии оценивания:

Критерий	Баллы
а1. Найдено время движения Гигоса по трубе	0.5
а2. Обоснованно найдены минимальное и максимальное расстояния, которые Гигосу нужно пролететь по Солнечной системе	0.5+0.5
а3. Определено общее время путешествия (указан верный диапазон)	2
Найдено только одно значение времени	1
б1. Правильно описаны изменения времён при использовании $k$ -ускорителя	0.5
б2. Получена верная функция вида $8.15/k+4.2k$ (или аналогичная)	1
б3. Получено верное значение оптимального $k$	1
в1. Верно записана формула для средней скорости, в которой средняя скорость есть отношение всего расстояния на всё время (включая остановки)	1
в2. Верно вычислена и выражена в единицах скорости света средняя скорость в первом случае	1
в3. Верно найдено время движения с использованием оптимальных настроек ускорителя	1
в4. Верно вычислена и выражена в единицах скорости света средняя скорость во втором случае	1
Всего	10

Справочные данные

Некоторые основные физические и астрономические постоянные

Гравитационная постоянная	$G$	$= 6.674 \cdot 10^{-11}\ \mathrm{м^3 \cdot кг^{-1} \cdot с^{-2}}$
Скорость света в вакууме	$c$	$= 2.998 \cdot 10^{8}\ \mathrm{м/с}$
Масса протона	$m_p$	$= 1.673 \cdot 10^{-27}\ \mathrm{кг}$
Масса электрона	$m_e$	$= 9.109 \cdot 10^{-31}\ \mathrm{кг}$
Астрономическая единица	1 а. е.	$= 1.496 \cdot 10^{11}\ \mathrm{м}$
Парсек	1 пк	$=$ 206 265 а. е. $= 3.086 \cdot 10^{16}\ \mathrm{м}$
Световой год	1 св. год	$=$ 365.25 сут. $\times\, c = 9.461 \cdot 10^{15}\ \mathrm{м}$

Данные о Солнце, Земле и Луне

Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot}$	$= -26.8^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot,\,\mathrm{eff}}$	$= 5.8 \cdot 10^{3}\ \mathrm{К}$
Поток энергии на расстоянии Земли	$E_{\odot}$	$= 1.4 \cdot 10^{3}\ \mathrm{Вт/м^2}$
Тропический год		= 365.24219 сут.
Сидерический (орбитальный) период		= 365.25636 сут.
Средняя орбитальная скорость		= 29.8 км/с
Звёздные сутки		= 23 ч 56 мин 04 с
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon$	$= 23.44^{\circ}$
Сидерический месяц		= 27.32 сут.
Синодический месяц		= 29.53 сут.
Ускорение свободного падения на поверхности Земли	$g$	$= 9.8\ \mathrm{м/с^2} = 9.8\ \mathrm{Н/кг}$

Характеристики Солнца, планет Солнечной системы и Луны

		Радиус орбиты, а. е.	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, $10^3$ км	Осевой период
☉	Солнце			$1.989 \cdot 10^{30}$	697	25.38 сут.
☿	Меркурий	0.3871	87.97 сут.	$3.302 \cdot 10^{23}$	2.44	58.65 сут.
♀	Венера	0.7233	224.70 сут.	$4.869 \cdot 10^{24}$	6.05	243.02 сут.
⊕	Земля	1.0000	см. выше	$5.974 \cdot 10^{24}$	6.37	23.93 ч
☾	↪ Луна	0.0026	27.32 сут.	$7.348 \cdot 10^{22}$	1.74	синхр.
♂	Марс	1.5237	686.98 сут.	$6.419 \cdot 10^{23}$	3.40	24.62 ч
♃	Юпитер	5.2028	11.862 лет	$1.899 \cdot 10^{27}$	71.5	9.92 ч
♄	Сатурн	9.5388	29.458 лет	$5.685 \cdot 10^{26}$	60.3	10.66 ч
♅	Уран	19.1914	84.01 лет	$8.683 \cdot 10^{25}$	25.6	17.24 ч
♆	Нептун	30.0611	164.79 лет	$1.024 \cdot 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Компьютерный тур — архивная отсылка

IV Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Заключительный этап 49 Часть II Онлайн-тур На онлайн-туре участники выполняли задания в системе тестирования. Комплект для каждого класса содержит 24 задания: вопросы на общие астрономические знания, упражнения для демонстрации практических навыков и простые вычислительные задачи. На выполнение заданий отводился 1 час 30 минут. Для каждого задания оценивается только представленный участником ответ, оценка составляет 1–2 балла в зависимости от сложности задания и количества подвопросов. Максимальная оценка за тур — 40 баллов. С полным содержанием комплекта в системе тестирования возможно ознакомиться на сайте олимпиады struve.astroedu.ru.

В этом PDF нет текстов 24 заданий компьютерного тура; ссылка не заменяет отсутствующие условия и ключи.

Справочные данные — методическое пособие

Некоторые основные физические и астрономические постоянные

Гравитационная постоянная	$G$	$= 6.674 \cdot 10^{-11}\ \mathrm{м^3 \cdot кг^{-1} \cdot с^{-2}}$
Скорость света в вакууме	$c$	$= 2.998 \cdot 10^{8}\ \mathrm{м/с}$
Масса протона	$m_p$	$= 1.673 \cdot 10^{-27}\ \mathrm{кг}$
Масса электрона	$m_e$	$= 9.109 \cdot 10^{-31}\ \mathrm{кг}$
Астрономическая единица	1 а. е.	$= 1.496 \cdot 10^{11}\ \mathrm{м}$
Парсек	1 пк	$=$ 206 265 а. е. $= 3.086 \cdot 10^{16}\ \mathrm{м}$
Световой год	1 св. год	$=$ 365.25 сут. $\times\, c = 9.461 \cdot 10^{15}\ \mathrm{м}$

Данные о Солнце, Земле и Луне

Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot}$	$= -26.8^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot,\,\mathrm{eff}}$	$= 5.8 \cdot 10^{3}\ \mathrm{К}$
Поток энергии на расстоянии Земли	$E_{\odot}$	$= 1.4 \cdot 10^{3}\ \mathrm{Вт/м^2}$
Тропический год		= 365.24219 сут.
Сидерический (орбитальный) период		= 365.25636 сут.
Средняя орбитальная скорость		= 29.8 км/с
Звёздные сутки		= 23 ч 56 мин 04 с
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon$	$= 23.44^{\circ}$
Сидерический месяц		= 27.32 сут.
Синодический месяц		= 29.53 сут.
Ускорение свободного падения на поверхности Земли	$g$	$= 9.8\ \mathrm{м/с^2} = 9.8\ \mathrm{Н/кг}$

Характеристики Солнца, планет Солнечной системы и Луны

		Радиус орбиты, а. е.	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, $10^3$ км	Осевой период
☉	Солнце			$1.989 \cdot 10^{30}$	697	25.38 сут.
☿	Меркурий	0.3871	87.97 сут.	$3.302 \cdot 10^{23}$	2.44	58.65 сут.
♀	Венера	0.7233	224.70 сут.	$4.869 \cdot 10^{24}$	6.05	243.02 сут.
⊕	Земля	1.0000	см. выше	$5.974 \cdot 10^{24}$	6.37	23.93 ч
☾	↪ Луна	0.0026	27.32 сут.	$7.348 \cdot 10^{22}$	1.74	синхр.
♂	Марс	1.5237	686.98 сут.	$6.419 \cdot 10^{23}$	3.40	24.62 ч
♃	Юпитер	5.2028	11.862 лет	$1.899 \cdot 10^{27}$	71.5	9.92 ч
♄	Сатурн	9.5388	29.458 лет	$5.685 \cdot 10^{26}$	60.3	10.66 ч
♅	Уран	19.1914	84.01 лет	$8.683 \cdot 10^{25}$	25.6	17.24 ч
♆	Нептун	30.0611	164.79 лет	$1.024 \cdot 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: struve-2025-final-prob-T-7.pdf · решение от архива: struve-2025-final-sol-T.pdf