Съдържание

Струве 2025, Заключителен етап, 7. клас — Задача 3. Трое на орбите ждут Рассветы

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Струве 2025

IV Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Заключительный этап. 7 класс · 10 т.

Внимание: Бележка към темата

Решения и критерии перенесены из архивного методического пособия заключительного этапа 2025 года. В исходнике сохранены отдельные несогласованные числовые значения; примечания к решениям указывают их без исправления оригинала. Тексты компьютерного тура в этом PDF не приведены.

Задача 7.4. Примечание к архивному тексту: ключ использует радиус Солнца 696000 км; справочные данные печатают $697\times10^3$ км. Оба исходных значения сохранены.

Задача 7.5. Примечание к архивному тексту: именно $12.00''$ напечатано в этой строке ключа. Условие и повторённое условие в ключе печатают $1^\circ10'00.00''$ ; исходные числовые значения и результат не исправлены.

Обложка методического пособия

Тренерский штаб сборной России по астрономии и астрофизике Методическая комиссия олимпиады школьников по астрономии имени В. Я. Струве IV Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве Заключительный этап Задания, решения и критерии оценивания Методическое пособие Москва 2025

Выходные сведения, авторы и жюри

УДК 52(076.1) ББК 22.6 IV Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Заключительный этап. Задания, решения и критерии оценивания : методическое пособие / Под ред. И. А. Утешева, А. В. Веселовой — М.: 2025. — 50 с. Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве проводится для учащихся 7–8-х классов как дополнение к Всероссийской олимпиаде школьников по астрономии, в последних этапах которой принимают участие 9–11-классники. Олимпиада проводится для популяризации астрономии и других естественных наук, а также для выявления на раннем этапе способных и талантливых учащихся и их привлечения к систематическим занятиям астрономией. Заключительный этап IV олимпиады состоялся 24–25 апреля 2025 года в распределённом формате в 65 регионах России от Чукотского автономного округа до Калининградской области. Комплект заданий подготовлен методической комиссией олимпиады школьников по астрономии имени В. Я. Струве struve.astroedu.ru • struve@astroedu.ru Авторысоставители: Веселова А. В., СПбГУ (Санкт-Петербург) Волобуева М. И., ПФМЛ №239 (Санкт-Петербург) Зворыкин И. А., МФТИ (Москва) Утешев И. А., МФТИ, ЦПМ (Москва) Шамбин А. И., АГУ (Республика Адыгея) Шишкина А. Ф., УУНИТ (Республика Башкортостан) Редакторы: Утешев И. А. — письменный тур Веселова А. В. — онлайн-тур Рецензенты: Эскин Б. Б., СПбГУ (Санкт-Петербург) Булыгин И. И., МГУ им. М. В. Ломоносова, ЦПМ (Москва) Тренерский штаб сборной России по астрономии и астрофизике выражает благодарность Министерству просвещения Российской Федерации и Московскому физико-техническому институту за поддержку инициативы по организации олимпиады, а также всех причастных к её проведению, в особенности членов жюри заключительного этапа олимпиады 2025 года: Автаеву А. А., Безбородову И. Н., Булыгина И. И., Веселову А. В., Зворыкина И. А., Иванова Е. С., Кирсанкину А. П., Кованкина А. С., Комкова Н. Н., Леденева Е. И., Орлова И. О., Русакова С. А., Санковского Д. Е., Телелюхина К. С., Утешева И. А., Федорова В. С., Шишкину А. Ф., Южакова И. И.

Содержание методического пособия

Содержание I Письменный тур 4 7 класс 6 7.1 Один день решает судьбу империи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 7.2 Труба на Европу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 7.3 Трое на орбите ждут Рассветы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 7.4 Вне Земли от счастья . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 7.5 Да-да, созвездие Кота . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 7.6 Чашу огня в небо поднять . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 8 класс 29 8.1 Один день решает судьбу империи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 8.2 Мальчик, который гулял сам по себе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 8.3 Марс и Юпитер, или N лет спустя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 8.4 Ой, не преувеличивай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 8.5 Живите сегодняшним днём! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 8.6 Чашу огня в небо поднять . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 II Онлайн-тур 49 Справочные данные 50

Общие указания для жюри

IV Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Заключительный этап 4 Часть I Письменный тур На письменном туре участникам предложены 6 задач, на выполнение которых отводилось 3 часа 55 минут. Каждая задача предполагает представление развёрнутого письменного решения. Решение каждого задания оценивается из 10 баллов. Максимальная оценка за тур — 60 баллов. Принципы оценивания олимпиадных работ 1. Правильное решение оценивается полным баллом, при этом оно не обязано повторять авторское буквально или логически. Частично верное или совершенно неверное решение оценивается соответственно частичным баллом или нулём. 2. Решение участника разбивается на логические элементы (шаги). Каждый из шагов оценивается независимо в соответствии с критериями, приведёнными после авторского решения задачи. Оценка за задачу равна сумме оценок за каждый из критериев. За каждый из критериев выставляется неотрицательная оценка. Если критерием предусмотрен штраф, он применяется к полной оценке за критерий; штрафы в пределах одного критерия складываются. 3. Каждый критерий оценивается независимо. За одну и ту же ошибку участник не может быть «наказан» дважды. Однако если участник получил и проигнорировал заведомо абсурдный результат, оценка может быть снижена вплоть до нуля. 4. Оригинальные решения, не совпадающие с авторскими, оцениваются по аналогии, если в них возможно выделить аналогичные шаги. Решение участника может оказаться более эффективным, чем авторское. В таком случае «выпадающие» критерии оцениваются в полном объёме. 5. Если участник совершает ошибку, не предусмотренную в критериях, член жюри самостоятельно определяет величину штрафа. Оценка не снижается за плохой почерк, помарки, недостатки оформления и прочие не относящиеся к сути решения участника элементы, но может быть снижена за запись численных ответов с заведомо абсурдной точностью.

Общие указания для жюри — продолжение

IV Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Заключительный этап 5 6. Для выставления справедливой оценки учитывается вся проделанная участником работа. Некоторые правильные идеи и догадки, имеющие отношение к корректному решению задачи, могут быть (на усмотрение членов жюри) оценены суммарно в 1–2 балла даже при отсутствии конкретных продвижений. 7. Не оцениваются элементы, не имеющие отношения к решению конкретной задачи: отвлечённые факты и произвольные формулы. Однако если правильное решение содержит необязательные дополнения и комментарии с грубыми физическими и астрономическими ошибками, оценка может быть снижена. 8. Каждая задача проверяется независимо двумя членами жюри. В протокол жюри вносится одна согласованная оценка за задачу. Если устранить разногласия не удалось, окончательное решение принимает председатель жюри или уполномоченный им член жюри.

Условие

Искусственные спутники Земли (ИСЗ) «Полюс-1» (○ П $_1$ ) и «Полюс-2» (● П $_2$ ) обращаются по круговым орбитам, проходящим над Северным и Южным полюсами Земли, так, что плоскости их орбит взаимно перпендикулярны друг другу. Искусственный спутник «Экватор» (⊙ Э) обращается по круговой орбите, проходящей над экватором Земли. В некоторый начальный момент времени все три спутника оказались над экватором (рис. 1, слева). Направления движения спутников «Полюс-2» и «Экватор» в этот момент показаны стрелками. Спустя время, равное периоду обращения спутника «Полюс-1» вокруг Земли, спутники оказались в положении, изображенном на рис. 1 справа.

Зная, что период обращения спутника «Полюс-1» вокруг Земли равен 9.9 часам и что за каждые 9 оборотов спутника «Полюс-2» спутник «Экватор» совершает 11 оборотов, определите наибольшие возможные значения периодов этих спутников.

Примечание. Радиусы орбит спутников изображены на рисунке одинаковыми для удобства восприятия. В действительности они различны.

Две сферы Земли с подписями «Северный полюс» и «Южный полюс», штриховыми эллипсами орбит и общей подписью «Плоскость экватора». Слева: белый кружок П₁ на левом краю экватора, чёрный кружок П₂ на экваторе в центре с фиолетовой стрелкой вверх, спутник Э справа на экваторе с красной штриховой стрелкой влево. Справа: П₁ на левом краю экватора, П₂ у Северного полюса с фиолетовой штриховой стрелкой вниз, Э на экваторе в центре с красной стрелкой вправо. — Рис. 1: Положения ИСЗ в начальный момент времени (слева) и через орбитальный период ИСЗ «Полюс-1» (справа)

Решение

Возможное решение. За один оборот спутника «Полюс-1» спутник «Полюс-2» мог совершить $\frac14$ оборота, $1+\frac14$ оборота, $2+\frac14$ оборота, …, $k_{\text{П2}}+\frac14$ оборота, где $k_{\text{П2}}$ — целое неотрицательное число. Отсюда получаем соотношение между периодами обращения спутников:

T_{\text{П1}}=T_{\text{П2}}\left(k_{\text{П2}}+\frac14\right)\quad\Longrightarrow\quad T_{\text{П2}}=\frac{4T_{\text{П1}}}{4k_{\text{П2}}+1}.\qquad (1)

Из формулы видно, что чем больше $k_{\text{П2}}$ , тем меньше период $T_{\text{П2}}$ , следовательно, нужно искать решение с наименьшим возможным значением $k_{\text{П2}}$ .

Аналогично, после одного оборота спутника «Полюс-1» спутник «Экватор» мог совершить $\frac34$ оборота, $1+\frac34$ оборота, $2+\frac34$ оборота, …, $k_{\text{Э}}+\frac34$ оборота, где $k_{\text{Э}}$ — также целое неотрицательное число. Тогда

T_{\text{П1}}=T_{\text{Э}}\left(k_{\text{Э}}+\frac34\right)\quad\Longrightarrow\quad T_{\text{Э}}=\frac{4T_{\text{П1}}}{4k_{\text{Э}}+3},\qquad (2)

а параметр $k_{\text{Э}}$ должен быть наименьшим из возможных.

Приравнивая выражения для $T_{\text{П1}}$ из (1) и (2), получаем:

T_{\text{П2}}\left(k_{\text{П2}}+\frac14\right)=T_{\text{Э}}\left(k_{\text{Э}}+\frac34\right)\quad\Longrightarrow\quad\frac{T_{\text{П2}}}{T_{\text{Э}}}=\frac{k_{\text{Э}}+\frac34}{k_{\text{П2}}+\frac14}.

По условию за каждые 9 оборотов спутника «Полюс-2» спутник «Экватор» совершает 11 оборотов, то есть

9T_{\text{П2}}=11T_{\text{Э}}\quad\Longrightarrow\quad\frac{T_{\text{П2}}}{T_{\text{Э}}}=\frac{11}{9}.

Тогда

\frac{k_{\text{Э}}+\frac34}{k_{\text{П2}}+\frac14}=\frac{11}{9}\quad\Longrightarrow\quad k_{\text{Э}}=\frac{11\left(k_{\text{П2}}+\frac14\right)}9-\frac34=\frac{44k_{\text{П2}}+11-27}{36}=\frac{11k_{\text{П2}}-4}{9}.

Далее подбираем наименьшее возможное значение параметров:

$k_{\text{П2}}=0\Longrightarrow k_{\text{Э}}=-4/9$ — нецелое отрицательное число;
$k_{\text{П2}}=1\Longrightarrow k_{\text{Э}}=(11-4)/9=7/9$ — нецелое число;
$k_{\text{П2}}=2\Longrightarrow k_{\text{Э}}=(22-4)/9=2$ — целое число (подходит!).

В результате $k_{\text{П2}}=k_{\text{Э}}=2$ — наименьшие возможные коэффициенты, которые соответствуют наибольшим возможным периодам обращения спутников «Полюс-2» и «Экватор». Теперь можем вычислить периоды обращения этих спутников:

T_{\text{П2}}=\frac{4T_{\text{П1}}}{4k_{\text{П2}}+1}=\frac{4\times9.9\ \text{ч}}{4\times2+1}=4.4\ \text{ч},

T_{\text{Э}}=\frac{4T_{\text{П1}}}{4k_{\text{Э}}+3}=\frac{4\times9.9\ \text{ч}}{4\times2+3}=3.6\ \text{ч}.

Критерии оценивания:

Критерий	Баллы
1. Получена формула (1) или её верный аналог	1
2. Показано, что наибольшему возможному значению периода ИСЗ «Полюс–2» соответствует наименьшее возможное значение коэффициента $k_{\text{П2}}$	1
3. Получена формула (2) или её верный аналог	1
4. Показано, что наибольшему возможному значению периода ИСЗ «Экватор» соответствует наименьшее возможное значение коэффициента $k_{\text{Э}}$	1
5. Получено верное отношение периодов $T_{\text{П2}}/T_{\text{Э}}$ с использованием величин $k_{\text{П2}}$ и $k_{\text{Э}}$	1
6. Записано верное численное отношение $T_{\text{П2}}/T_{\text{Э}}$	1
7. Получена верная формула связи между $k_{\text{П2}}$ и $k_{\text{Э}}$	1
8. Установлено, что $k_{\text{П2}}=k_{\text{Э}}=2$	1
9. Вычислен период $T_{\text{П2}}$	1
10. Вычислен период $T_{\text{Э}}$	1
Всего	10

Примечание. «Рассвет» — российский проект низкоорбитальной спутниковой группировки для обеспечения широкополосного доступа в Интернет. В 2023–2024 гг. в рамках миссий «Рассвет-1» и «Рассвет-2» состоялся запуск шести спутников для тестирования ключевых технологий, по три аппарата за запуск.

Справочные данные

Некоторые основные физические и астрономические постоянные

Гравитационная постоянная	$G$	$= 6.674 \cdot 10^{-11}\ \mathrm{м^3 \cdot кг^{-1} \cdot с^{-2}}$
Скорость света в вакууме	$c$	$= 2.998 \cdot 10^{8}\ \mathrm{м/с}$
Масса протона	$m_p$	$= 1.673 \cdot 10^{-27}\ \mathrm{кг}$
Масса электрона	$m_e$	$= 9.109 \cdot 10^{-31}\ \mathrm{кг}$
Астрономическая единица	1 а. е.	$= 1.496 \cdot 10^{11}\ \mathrm{м}$
Парсек	1 пк	$=$ 206 265 а. е. $= 3.086 \cdot 10^{16}\ \mathrm{м}$
Световой год	1 св. год	$=$ 365.25 сут. $\times\, c = 9.461 \cdot 10^{15}\ \mathrm{м}$

Данные о Солнце, Земле и Луне

Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot}$	$= -26.8^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot,\,\mathrm{eff}}$	$= 5.8 \cdot 10^{3}\ \mathrm{К}$
Поток энергии на расстоянии Земли	$E_{\odot}$	$= 1.4 \cdot 10^{3}\ \mathrm{Вт/м^2}$
Тропический год		= 365.24219 сут.
Сидерический (орбитальный) период		= 365.25636 сут.
Средняя орбитальная скорость		= 29.8 км/с
Звёздные сутки		= 23 ч 56 мин 04 с
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon$	$= 23.44^{\circ}$
Сидерический месяц		= 27.32 сут.
Синодический месяц		= 29.53 сут.
Ускорение свободного падения на поверхности Земли	$g$	$= 9.8\ \mathrm{м/с^2} = 9.8\ \mathrm{Н/кг}$

Характеристики Солнца, планет Солнечной системы и Луны

		Радиус орбиты, а. е.	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, $10^3$ км	Осевой период
☉	Солнце			$1.989 \cdot 10^{30}$	697	25.38 сут.
☿	Меркурий	0.3871	87.97 сут.	$3.302 \cdot 10^{23}$	2.44	58.65 сут.
♀	Венера	0.7233	224.70 сут.	$4.869 \cdot 10^{24}$	6.05	243.02 сут.
⊕	Земля	1.0000	см. выше	$5.974 \cdot 10^{24}$	6.37	23.93 ч
☾	↪ Луна	0.0026	27.32 сут.	$7.348 \cdot 10^{22}$	1.74	синхр.
♂	Марс	1.5237	686.98 сут.	$6.419 \cdot 10^{23}$	3.40	24.62 ч
♃	Юпитер	5.2028	11.862 лет	$1.899 \cdot 10^{27}$	71.5	9.92 ч
♄	Сатурн	9.5388	29.458 лет	$5.685 \cdot 10^{26}$	60.3	10.66 ч
♅	Уран	19.1914	84.01 лет	$8.683 \cdot 10^{25}$	25.6	17.24 ч
♆	Нептун	30.0611	164.79 лет	$1.024 \cdot 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Компьютерный тур — архивная отсылка

IV Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Заключительный этап 49 Часть II Онлайн-тур На онлайн-туре участники выполняли задания в системе тестирования. Комплект для каждого класса содержит 24 задания: вопросы на общие астрономические знания, упражнения для демонстрации практических навыков и простые вычислительные задачи. На выполнение заданий отводился 1 час 30 минут. Для каждого задания оценивается только представленный участником ответ, оценка составляет 1–2 балла в зависимости от сложности задания и количества подвопросов. Максимальная оценка за тур — 40 баллов. С полным содержанием комплекта в системе тестирования возможно ознакомиться на сайте олимпиады struve.astroedu.ru.

В этом PDF нет текстов 24 заданий компьютерного тура; ссылка не заменяет отсутствующие условия и ключи.

Справочные данные — методическое пособие

Некоторые основные физические и астрономические постоянные

Гравитационная постоянная	$G$	$= 6.674 \cdot 10^{-11}\ \mathrm{м^3 \cdot кг^{-1} \cdot с^{-2}}$
Скорость света в вакууме	$c$	$= 2.998 \cdot 10^{8}\ \mathrm{м/с}$
Масса протона	$m_p$	$= 1.673 \cdot 10^{-27}\ \mathrm{кг}$
Масса электрона	$m_e$	$= 9.109 \cdot 10^{-31}\ \mathrm{кг}$
Астрономическая единица	1 а. е.	$= 1.496 \cdot 10^{11}\ \mathrm{м}$
Парсек	1 пк	$=$ 206 265 а. е. $= 3.086 \cdot 10^{16}\ \mathrm{м}$
Световой год	1 св. год	$=$ 365.25 сут. $\times\, c = 9.461 \cdot 10^{15}\ \mathrm{м}$

Данные о Солнце, Земле и Луне

Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot}$	$= -26.8^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot,\,\mathrm{eff}}$	$= 5.8 \cdot 10^{3}\ \mathrm{К}$
Поток энергии на расстоянии Земли	$E_{\odot}$	$= 1.4 \cdot 10^{3}\ \mathrm{Вт/м^2}$
Тропический год		= 365.24219 сут.
Сидерический (орбитальный) период		= 365.25636 сут.
Средняя орбитальная скорость		= 29.8 км/с
Звёздные сутки		= 23 ч 56 мин 04 с
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon$	$= 23.44^{\circ}$
Сидерический месяц		= 27.32 сут.
Синодический месяц		= 29.53 сут.
Ускорение свободного падения на поверхности Земли	$g$	$= 9.8\ \mathrm{м/с^2} = 9.8\ \mathrm{Н/кг}$

Характеристики Солнца, планет Солнечной системы и Луны

		Радиус орбиты, а. е.	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, $10^3$ км	Осевой период
☉	Солнце			$1.989 \cdot 10^{30}$	697	25.38 сут.
☿	Меркурий	0.3871	87.97 сут.	$3.302 \cdot 10^{23}$	2.44	58.65 сут.
♀	Венера	0.7233	224.70 сут.	$4.869 \cdot 10^{24}$	6.05	243.02 сут.
⊕	Земля	1.0000	см. выше	$5.974 \cdot 10^{24}$	6.37	23.93 ч
☾	↪ Луна	0.0026	27.32 сут.	$7.348 \cdot 10^{22}$	1.74	синхр.
♂	Марс	1.5237	686.98 сут.	$6.419 \cdot 10^{23}$	3.40	24.62 ч
♃	Юпитер	5.2028	11.862 лет	$1.899 \cdot 10^{27}$	71.5	9.92 ч
♄	Сатурн	9.5388	29.458 лет	$5.685 \cdot 10^{26}$	60.3	10.66 ч
♅	Уран	19.1914	84.01 лет	$8.683 \cdot 10^{25}$	25.6	17.24 ч
♆	Нептун	30.0611	164.79 лет	$1.024 \cdot 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: struve-2025-final-prob-T-7.pdf · решение от архива: struve-2025-final-sol-T.pdf