Съдържание

Струве 2025, Заключителен етап, 7. клас — Задача 4. Вне Земли от счастья

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Струве 2025

IV Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Заключительный этап. 7 класс · 10 т.

Внимание: Бележка към темата

Решения и критерии перенесены из архивного методического пособия заключительного этапа 2025 года. В исходнике сохранены отдельные несогласованные числовые значения; примечания к решениям указывают их без исправления оригинала. Тексты компьютерного тура в этом PDF не приведены.

Задача 7.4. Примечание к архивному тексту: ключ использует радиус Солнца 696000 км; справочные данные печатают $697\times10^3$ км. Оба исходных значения сохранены.

Задача 7.5. Примечание к архивному тексту: именно $12.00''$ напечатано в этой строке ключа. Условие и повторённое условие в ключе печатают $1^\circ10'00.00''$ ; исходные числовые значения и результат не исправлены.

Обложка методического пособия

Тренерский штаб сборной России по астрономии и астрофизике Методическая комиссия олимпиады школьников по астрономии имени В. Я. Струве IV Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве Заключительный этап Задания, решения и критерии оценивания Методическое пособие Москва 2025

Выходные сведения, авторы и жюри

УДК 52(076.1) ББК 22.6 IV Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Заключительный этап. Задания, решения и критерии оценивания : методическое пособие / Под ред. И. А. Утешева, А. В. Веселовой — М.: 2025. — 50 с. Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве проводится для учащихся 7–8-х классов как дополнение к Всероссийской олимпиаде школьников по астрономии, в последних этапах которой принимают участие 9–11-классники. Олимпиада проводится для популяризации астрономии и других естественных наук, а также для выявления на раннем этапе способных и талантливых учащихся и их привлечения к систематическим занятиям астрономией. Заключительный этап IV олимпиады состоялся 24–25 апреля 2025 года в распределённом формате в 65 регионах России от Чукотского автономного округа до Калининградской области. Комплект заданий подготовлен методической комиссией олимпиады школьников по астрономии имени В. Я. Струве struve.astroedu.ru • struve@astroedu.ru Авторысоставители: Веселова А. В., СПбГУ (Санкт-Петербург) Волобуева М. И., ПФМЛ №239 (Санкт-Петербург) Зворыкин И. А., МФТИ (Москва) Утешев И. А., МФТИ, ЦПМ (Москва) Шамбин А. И., АГУ (Республика Адыгея) Шишкина А. Ф., УУНИТ (Республика Башкортостан) Редакторы: Утешев И. А. — письменный тур Веселова А. В. — онлайн-тур Рецензенты: Эскин Б. Б., СПбГУ (Санкт-Петербург) Булыгин И. И., МГУ им. М. В. Ломоносова, ЦПМ (Москва) Тренерский штаб сборной России по астрономии и астрофизике выражает благодарность Министерству просвещения Российской Федерации и Московскому физико-техническому институту за поддержку инициативы по организации олимпиады, а также всех причастных к её проведению, в особенности членов жюри заключительного этапа олимпиады 2025 года: Автаеву А. А., Безбородову И. Н., Булыгина И. И., Веселову А. В., Зворыкина И. А., Иванова Е. С., Кирсанкину А. П., Кованкина А. С., Комкова Н. Н., Леденева Е. И., Орлова И. О., Русакова С. А., Санковского Д. Е., Телелюхина К. С., Утешева И. А., Федорова В. С., Шишкину А. Ф., Южакова И. И.

Содержание методического пособия

Содержание I Письменный тур 4 7 класс 6 7.1 Один день решает судьбу империи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 7.2 Труба на Европу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 7.3 Трое на орбите ждут Рассветы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 7.4 Вне Земли от счастья . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 7.5 Да-да, созвездие Кота . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 7.6 Чашу огня в небо поднять . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 8 класс 29 8.1 Один день решает судьбу империи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 8.2 Мальчик, который гулял сам по себе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 8.3 Марс и Юпитер, или N лет спустя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 8.4 Ой, не преувеличивай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 8.5 Живите сегодняшним днём! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 8.6 Чашу огня в небо поднять . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 II Онлайн-тур 49 Справочные данные 50

Общие указания для жюри

IV Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Заключительный этап 4 Часть I Письменный тур На письменном туре участникам предложены 6 задач, на выполнение которых отводилось 3 часа 55 минут. Каждая задача предполагает представление развёрнутого письменного решения. Решение каждого задания оценивается из 10 баллов. Максимальная оценка за тур — 60 баллов. Принципы оценивания олимпиадных работ 1. Правильное решение оценивается полным баллом, при этом оно не обязано повторять авторское буквально или логически. Частично верное или совершенно неверное решение оценивается соответственно частичным баллом или нулём. 2. Решение участника разбивается на логические элементы (шаги). Каждый из шагов оценивается независимо в соответствии с критериями, приведёнными после авторского решения задачи. Оценка за задачу равна сумме оценок за каждый из критериев. За каждый из критериев выставляется неотрицательная оценка. Если критерием предусмотрен штраф, он применяется к полной оценке за критерий; штрафы в пределах одного критерия складываются. 3. Каждый критерий оценивается независимо. За одну и ту же ошибку участник не может быть «наказан» дважды. Однако если участник получил и проигнорировал заведомо абсурдный результат, оценка может быть снижена вплоть до нуля. 4. Оригинальные решения, не совпадающие с авторскими, оцениваются по аналогии, если в них возможно выделить аналогичные шаги. Решение участника может оказаться более эффективным, чем авторское. В таком случае «выпадающие» критерии оцениваются в полном объёме. 5. Если участник совершает ошибку, не предусмотренную в критериях, член жюри самостоятельно определяет величину штрафа. Оценка не снижается за плохой почерк, помарки, недостатки оформления и прочие не относящиеся к сути решения участника элементы, но может быть снижена за запись численных ответов с заведомо абсурдной точностью.

Общие указания для жюри — продолжение

IV Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Заключительный этап 5 6. Для выставления справедливой оценки учитывается вся проделанная участником работа. Некоторые правильные идеи и догадки, имеющие отношение к корректному решению задачи, могут быть (на усмотрение членов жюри) оценены суммарно в 1–2 балла даже при отсутствии конкретных продвижений. 7. Не оцениваются элементы, не имеющие отношения к решению конкретной задачи: отвлечённые факты и произвольные формулы. Однако если правильное решение содержит необязательные дополнения и комментарии с грубыми физическими и астрономическими ошибками, оценка может быть снижена. 8. Каждая задача проверяется независимо двумя членами жюри. В протокол жюри вносится одна согласованная оценка за задачу. Если устранить разногласия не удалось, окончательное решение принимает председатель жюри или уполномоченный им член жюри.

Условие

Вокруг звезды радиусом 2.3 радиуса Солнца по круговой орбите радиусом 1.2 а. е. движется планета радиусом 1.5 радиуса Земли. Наклон плоскости экватора к плоскости орбиты составляет $25^{\circ}$ . Атмосфера у планеты отсутствует. На некоторой широте в день зимнего солнцестояния диск звезды в полдень касается горизонта нижним краем.

а) Определите широту места наблюдения.

б) Определите наибольшую высоту центра звезды, достигаемую в течение местного года на этой широте.

в) Определите расстояние от пункта наблюдения до северного тропика.

Решение

Возможное решение:

а) В полдень звезда находится в верхней кульминации. Касание горизонта нижним краем означает, что центр звезды находится на высоте, равной видимому угловому радиусу звезды. Определим угловой радиус звезды, пользуясь приближением малых углов, то есть разделив линейный радиус звезды на расстояние до неё и получив значение угла в радианах:

\rho=\frac Ra=\frac{2.3\times696000\ \text{км}}{1.2\times1.496\cdot10^8\ \text{км}}=0.0089\ \text{рад}=0.5^\circ.

Аналогичный результат можно получить, оценив угловой радиус звезды как $2.3/1.2\approx1.9$ угловых радиусов Солнца при наблюдении с Земли (звезда в 2.3 раза больше Солнца, но дальше от своей планеты в 1.2 раза). Известно, что угловой радиус Солнца на небе Земли составляет $16'$ . Значит, угловой радиус звезды составляет $16'\times1.9\approx30'=0.5^\circ$ .

Следовательно, в момент верхней кульминации высота центра звезды составляла $h_{\text{вк}}=\rho=0.5^\circ$ .

Для определения широты места наблюдения требуется оценить склонение звезды. День зимнего солнцестояния соответствует наибольшему удалению звезды от плоскости экватора планеты, при этом склонение минимально и по модулю равно углу между экватором и плоскостью орбиты (местной эклиптики): $\delta_{\min}=-\varepsilon=-25^\circ$ .

Запишем формулу для высоты светила в верхней кульминации, подставим имеющиеся числа:

h_{\text{вк}}=90^\circ-|\varphi_1-\delta_{\min}|\quad\Longrightarrow\quad89.5^\circ=|\varphi_1+25^\circ|.

Широта $\varphi_1$ находится в пределах от $-90^\circ$ до $+90^\circ$ , следовательно, уравнение имеет единственное решение: $\varphi_1=89.5^\circ-25^\circ=64.5^\circ$ .

б) Величина широты превышает широту северного тропика (ровно $25^\circ$ , см. решение пункта «в»), следовательно, в зените центр звезды наблюдаться не может, то есть верхняя кульминация всегда происходит к югу от зенита, а её высота будет тем больше, чем больше склонение звезды.

Наибольшего склонения звезда достигает в день летнего солнцестояния, когда склонение составляет $\delta_{\max}=+25^\circ$ . Наибольшая достигаемая высота верхней кульминации окажется равной

h_{\text{вк,max}}=90^\circ-|\varphi-\delta_{\max}|=90^\circ-|64.5^\circ-25^\circ|=50.5^\circ.

Северный тропик является северной границей области, на которой местное солнце (точнее, центр его диска) может проходить через зенит. Если объект кульминирует в зените, высота верхней кульминации составляет ровно $90^\circ$ , тогда из формулы для высоты верхней кульминации получаем

90^\circ=90^\circ-|\varphi-\delta|\quad\Longrightarrow\quad\varphi=\delta.

Поскольку наибольшее склонение составляет $\delta=+\varepsilon=+25^\circ$ , широта северного тропика также равна $+25^\circ$ .

Задача допускает и графическое решение. Соответствующие чертежи приведены на рис. 3 и 4.

в) Требуется определить расстояние от пункта на широте $64.5^\circ$ до параллели $25^\circ$ . Заметим, что в качестве ответа допустимо предъявить длину дуги меридиана, заключенной между указанными широтами. Линейное расстояние вдоль дуги пропорционально угловой мере этой дуги, то есть разности широт.

Длина меридиана равна половине длины окружности, то есть $\pi R$ , при соответствующей угловой мере $180^\circ$ . Составим пропорцию:

\frac{64.5^\circ-25^\circ}{180^\circ}=\frac{x}{\pi R}\quad\Longrightarrow\quad x=\pi(1.5\times6.37\cdot10^3\ \text{км})\times\frac{39.5^\circ}{180^\circ}\approx6.6\cdot10^3\ \text{км}.

Зимняя геометрия. Подписи: Северный полярный круг; Наблюдатель; Экватор; Местные горизонты; Южный тропик; Направление на звезду; Вид звезды у горизонта. Углы ε, φ₁ и ρ; обе местные касательные и видимый диск звезды. — Рис. 3: Геометрия задачи: день зимнего солнцестояния

В верхней кульминации центр диска звезды лежит на горизонте для наблюдателя на северном полярном круге. Для наблюдателя (широта $\varphi_1$ ) в тот же момент диск звезды касается горизонта. На чертеже отмечено не реальное положение звезды, а её наблюдаемый вид относительно «местных горизонтов» для северной приполярной области (сама звезда в масштабе чертежа «бесконечно далеко»).

Летняя геометрия. Подписи: Наблюдатель; Северный тропик; Экватор; Направление на звезду; Горизонт наблюдателя. Отмечены x, φ₁, ε и hвк,max, местный горизонт и направление звезды. — Рис. 4: Геометрия задачи: день летнего солнцестояния

В верхней кульминации звезда на северном тропике наблюдается в зените.

Критерии оценивания:

Критерий	Баллы
а1. Указание на положение звезды в верхней кульминации в полдень	1
а2. Указание на равенство высоты центра звезды над горизонтом угловому радиусу звезды	1
а3. Вычисление углового радиуса звезды	1
а4. Определение склонения звезды в день зимнего солнцестояния	1
а5. Запись формулы и вычисление широты наблюдения	1
б1. Обоснование условий наблюдения максимальной высоты звезды над горизонтом (верхняя кульминация, склонение $+25^\circ$ )	1
б2. Вычисление максимальной высоты	1
в1. Обоснованное определение широты северного тропика	1
в2. Вычисление длины дуги (в угловой мере) вдоль меридиана	1
в3. Получение верного ответа	1
Всего	10

Замечание. В случае записи верной формулы наличие арифметической ошибки снижало оценку на 0.5 балла.

Справочные данные

Некоторые основные физические и астрономические постоянные

Гравитационная постоянная	$G$	$= 6.674 \cdot 10^{-11}\ \mathrm{м^3 \cdot кг^{-1} \cdot с^{-2}}$
Скорость света в вакууме	$c$	$= 2.998 \cdot 10^{8}\ \mathrm{м/с}$
Масса протона	$m_p$	$= 1.673 \cdot 10^{-27}\ \mathrm{кг}$
Масса электрона	$m_e$	$= 9.109 \cdot 10^{-31}\ \mathrm{кг}$
Астрономическая единица	1 а. е.	$= 1.496 \cdot 10^{11}\ \mathrm{м}$
Парсек	1 пк	$=$ 206 265 а. е. $= 3.086 \cdot 10^{16}\ \mathrm{м}$
Световой год	1 св. год	$=$ 365.25 сут. $\times\, c = 9.461 \cdot 10^{15}\ \mathrm{м}$

Данные о Солнце, Земле и Луне

Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot}$	$= -26.8^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot,\,\mathrm{eff}}$	$= 5.8 \cdot 10^{3}\ \mathrm{К}$
Поток энергии на расстоянии Земли	$E_{\odot}$	$= 1.4 \cdot 10^{3}\ \mathrm{Вт/м^2}$
Тропический год		= 365.24219 сут.
Сидерический (орбитальный) период		= 365.25636 сут.
Средняя орбитальная скорость		= 29.8 км/с
Звёздные сутки		= 23 ч 56 мин 04 с
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon$	$= 23.44^{\circ}$
Сидерический месяц		= 27.32 сут.
Синодический месяц		= 29.53 сут.
Ускорение свободного падения на поверхности Земли	$g$	$= 9.8\ \mathrm{м/с^2} = 9.8\ \mathrm{Н/кг}$

Характеристики Солнца, планет Солнечной системы и Луны

		Радиус орбиты, а. е.	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, $10^3$ км	Осевой период
☉	Солнце			$1.989 \cdot 10^{30}$	697	25.38 сут.
☿	Меркурий	0.3871	87.97 сут.	$3.302 \cdot 10^{23}$	2.44	58.65 сут.
♀	Венера	0.7233	224.70 сут.	$4.869 \cdot 10^{24}$	6.05	243.02 сут.
⊕	Земля	1.0000	см. выше	$5.974 \cdot 10^{24}$	6.37	23.93 ч
☾	↪ Луна	0.0026	27.32 сут.	$7.348 \cdot 10^{22}$	1.74	синхр.
♂	Марс	1.5237	686.98 сут.	$6.419 \cdot 10^{23}$	3.40	24.62 ч
♃	Юпитер	5.2028	11.862 лет	$1.899 \cdot 10^{27}$	71.5	9.92 ч
♄	Сатурн	9.5388	29.458 лет	$5.685 \cdot 10^{26}$	60.3	10.66 ч
♅	Уран	19.1914	84.01 лет	$8.683 \cdot 10^{25}$	25.6	17.24 ч
♆	Нептун	30.0611	164.79 лет	$1.024 \cdot 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Компьютерный тур — архивная отсылка

IV Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Заключительный этап 49 Часть II Онлайн-тур На онлайн-туре участники выполняли задания в системе тестирования. Комплект для каждого класса содержит 24 задания: вопросы на общие астрономические знания, упражнения для демонстрации практических навыков и простые вычислительные задачи. На выполнение заданий отводился 1 час 30 минут. Для каждого задания оценивается только представленный участником ответ, оценка составляет 1–2 балла в зависимости от сложности задания и количества подвопросов. Максимальная оценка за тур — 40 баллов. С полным содержанием комплекта в системе тестирования возможно ознакомиться на сайте олимпиады struve.astroedu.ru.

В этом PDF нет текстов 24 заданий компьютерного тура; ссылка не заменяет отсутствующие условия и ключи.

Справочные данные — методическое пособие

Некоторые основные физические и астрономические постоянные

Гравитационная постоянная	$G$	$= 6.674 \cdot 10^{-11}\ \mathrm{м^3 \cdot кг^{-1} \cdot с^{-2}}$
Скорость света в вакууме	$c$	$= 2.998 \cdot 10^{8}\ \mathrm{м/с}$
Масса протона	$m_p$	$= 1.673 \cdot 10^{-27}\ \mathrm{кг}$
Масса электрона	$m_e$	$= 9.109 \cdot 10^{-31}\ \mathrm{кг}$
Астрономическая единица	1 а. е.	$= 1.496 \cdot 10^{11}\ \mathrm{м}$
Парсек	1 пк	$=$ 206 265 а. е. $= 3.086 \cdot 10^{16}\ \mathrm{м}$
Световой год	1 св. год	$=$ 365.25 сут. $\times\, c = 9.461 \cdot 10^{15}\ \mathrm{м}$

Данные о Солнце, Земле и Луне

Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot}$	$= -26.8^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot,\,\mathrm{eff}}$	$= 5.8 \cdot 10^{3}\ \mathrm{К}$
Поток энергии на расстоянии Земли	$E_{\odot}$	$= 1.4 \cdot 10^{3}\ \mathrm{Вт/м^2}$
Тропический год		= 365.24219 сут.
Сидерический (орбитальный) период		= 365.25636 сут.
Средняя орбитальная скорость		= 29.8 км/с
Звёздные сутки		= 23 ч 56 мин 04 с
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon$	$= 23.44^{\circ}$
Сидерический месяц		= 27.32 сут.
Синодический месяц		= 29.53 сут.
Ускорение свободного падения на поверхности Земли	$g$	$= 9.8\ \mathrm{м/с^2} = 9.8\ \mathrm{Н/кг}$

Характеристики Солнца, планет Солнечной системы и Луны

		Радиус орбиты, а. е.	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, $10^3$ км	Осевой период
☉	Солнце			$1.989 \cdot 10^{30}$	697	25.38 сут.
☿	Меркурий	0.3871	87.97 сут.	$3.302 \cdot 10^{23}$	2.44	58.65 сут.
♀	Венера	0.7233	224.70 сут.	$4.869 \cdot 10^{24}$	6.05	243.02 сут.
⊕	Земля	1.0000	см. выше	$5.974 \cdot 10^{24}$	6.37	23.93 ч
☾	↪ Луна	0.0026	27.32 сут.	$7.348 \cdot 10^{22}$	1.74	синхр.
♂	Марс	1.5237	686.98 сут.	$6.419 \cdot 10^{23}$	3.40	24.62 ч
♃	Юпитер	5.2028	11.862 лет	$1.899 \cdot 10^{27}$	71.5	9.92 ч
♄	Сатурн	9.5388	29.458 лет	$5.685 \cdot 10^{26}$	60.3	10.66 ч
♅	Уран	19.1914	84.01 лет	$8.683 \cdot 10^{25}$	25.6	17.24 ч
♆	Нептун	30.0611	164.79 лет	$1.024 \cdot 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: struve-2025-final-prob-T-7.pdf · решение от архива: struve-2025-final-sol-T.pdf