Съдържание

Струве 2025, Регионален етап, 8. клас — Задача 6. Щели Кирквуда

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Струве 2025

IV Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Региональный этап • 2025. 8 класс · 20 т.

Оценивание

Задачи № 1–4 оцениваются из 15 баллов каждая, задачи № 5–6 — из 20 баллов. Всего 100 баллов.

Методическое пособие — титульный лист

Тренерский штаб сборной России по астрономии и астрофизике Методическая комиссия олимпиады школьников по астрономии имени В. Я. Струве IV Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве Региональный этап Задания, решения и критерии оценивания Методическое пособие Москва 2025

Методическое пособие — выходные сведения

УДК 52(076.1) ББК 22.6 IV Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Региональный этап. Задания, решения и критерии оценивания : методическое пособие — М.: 2025. — 33 с. Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве проводится для учащихся 7–8-х классов как дополнение к Всероссийской олимпиаде школьников по астрономии, в последних этапах которой принимают участие 9–11-классники. Олимпиада проводится для популяризации астрономии и других естественных наук, а также для выявления на раннем этапе способных и талантливых учащихся и их привлечения к систематическим занятиям астрономией. Первая олимпиада им. Струве состоялась 26 января 2022 года. С 2023 года олимпиада проводится в два этапа: региональный и заключительный. Комплект заданий подготовлен методической комиссией олимпиады школьников по астрономии имени В. Я. Струве struve.astroedu.ru • struve@astroedu.ru Авторы-составители: Веселова А. В., СПбГУ (Санкт-Петербург) Волобуева М. И., ПФМЛ №239 (Санкт-Петербург) Утешев И. А., МФТИ, ЦПМ (Москва) Эскин Б. Б., СПбГУ (Санкт-Петербург) Рецензенты: Булыгин И. И., МГУ им. М. В. Ломоносова, ЦПМ (Москва) Желтоухов С. Г., МГУ им. М. В. Ломоносова (Москва) Фадеев Е. Н., ФИАН РАН (Москва) Тренерский штаб сборной России по астрономии и астрофизике выражает благодарность Министерству просвещения Российской Федерации и Московскому физико-техническому институту за поддержку инициативы по проведению олимпиады.

Общие указания для жюри

Общие указания для жюри Характеристика комплекта заданий Комплект содержит по 6 задач для участников каждого класса. Задание №6 идентично для обоих классов. Решение задач №№1–4 оценивается из 15 баллов, решение задач №№5–6 — из 20 баллов. Максимальный результат — 100 баллов. Принципы оценивания олимпиадных работ

Правильное решение оценивается полным баллом, при этом оно не обязано повторять авторское буквально или логически. Частично верное или совершенно неверное решение оценивается соответственно частичным баллом или нулём.
Решение участника разбивается на логические элементы (шаги). Каждый из шагов оценивается независимо в соответствии с критериями, приведёнными после авторского решения задачи. Оценка за задачу равна сумме оценок за каждый из критериев. За каждый из критериев выставляется целая неотрицательная оценка. Если критерием предусмотрен штраф, он применяется к полной оценке за критерий. Штрафы в пределах одного критерия складываются*.
Каждый критерий оценивается независимо. За одну и ту же ошибку участник не может быть «наказан» дважды. Так, если критерии подразумевают выполнение последовательности действий и участник допускает ошибку, оценка снижается только за соответствующий шаг, а последующие результаты должны пересчитываться и оцениваться так, будто промежуточный ответ был правильным. Исключение: если участник получил и проигнорировал заведомо абсурдный ответ (конечный или промежуточный), оценка снижается за все связанные критерии вплоть до нуля.
Оригинальные решения, не совпадающие с авторскими, оцениваются по аналогии, если в них возможно выделить аналогичные шаги. *Например, если критерий в 3 балла подразумевает вычисление некоторой величины (3 балла), и при этом участник допускает арифметическую ошибку (−1 балл), то итоговая оценка за этот критерий составляет 2 балла.

Принципы оценивания и организация работы жюри

Решение участника может оказаться более эффективным, чем авторское. В таком случае «выпадающие» критерии оцениваются в полном объёме.

Если участник совершает ошибку, не предусмотренную в критериях, член жюри самостоятельно определяет величину штрафа. Оценка не снижается за плохой почерк, помарки, недостатки оформления и прочие не относящиеся к сути решения участника элементы, но может быть снижена за запись численных ответов с заведомо абсурдной точностью.
Для выставления справедливой оценки необходимо учесть всю проделанную участником работу. Некоторые правильные идеи и догадки, имеющие отношение к корректному решению задачи, могут быть оценены суммарно в 1–2 балла даже при отсутствии конкретных продвижений.
Не оцениваются элементы, не имеющие отношения к решению конкретной задачи: отвлечённые факты и произвольные формулы. Однако если правильное решение содержит необязательные дополнения и комментарии с грубыми физическими и астрономическими ошибками, оценка может быть снижена.
В особенно сложных случаях члены жюри могут обратиться за консультацией в методическую комиссию олимпиады по адресу struve@astroedu.ru. Организация работы жюри и подведение итогов
Жюри осуществляет деятельность в соответствии с пунктом 14 Положения об олимпиаде и пунктами 21–33 Регламента организации и проведения регионального этапа олимпиады. Эти документы опубликованы на сайте олимпиады struve.astroedu.ru.
Член жюри, ответственный за проверку какой-либо задачи, для обеспечения единообразия проверки должен проверить её решение у всех участников соответствующего класса.
Каждая задача проверяется независимо двумя членами жюри. В протокол жюри вносится одна согласованная оценка за задачу — целое число. Проверявшие задачу члены жюри проводят совместное обсуждение работ, по оценке которых возникли разногласия. Если устранить разногласия не удалось, окончательное решение принимает председатель жюри или уполномоченный им член жюри. При расхождении оценок за задачу на 1 балл допустимо считать итоговой наибольшую из них без дополнительного обсуждения.

Организация работы жюри — продолжение

Результат участника получается путём сложения итоговых оценок за все задачи. Максимально возможный итоговый результат составляет 100 баллов.
До подведения итогов олимпиады жюри обязано провести показ работ (по запросам участников) и рассмотреть апелляции о несогласии с выставленными баллами.
Рассмотрение апелляции проводится в спокойной и доброжелательной обстановке. Каждый может ошибаться.
Жюри определяет победителей и призёров олимпиады в пределах квоты, установленной организатором олимпиады в субъекте Российской Федерации, исходя из распределения результатов участников каждого класса в отдельности. Рекомендуется избегать ситуаций, когда граница между участниками с разным статусом проводится при небольшой разнице результатов. При определении победителей и призёров крайне рекомендуется исходить исключительно из относительного распределения результатов участников, без оглядки на потенциально возможный максимальный результат. В частности, Положением об олимпиаде не предусмотрены ограничения для признания победителем или призёром олимпиады участника, набравшего менее 50 % от максимума.

Полученный источник решений — атрибуция

Решения и критерии получены из архивной копии методического пособия «IV Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Региональный этап. Задания, решения и критерии оценивания», Москва, 2025. Пособие указывает методическую комиссию олимпиады и тренерский штаб сборной России; архивная ссылка не является подтверждением размещения на сайте организатора. Явная лицензия на публичное или коммерческое воспроизведение в полученных 42 страницах не напечатана. Выходные сведения указывают 33 страницы; файл содержит 34 физические страницы с ненумерованной обложкой.

Содержание методического пособия

Ниже сохранена напечатанная нумерация страниц пособия; физические страницы PDF на одну больше из-за ненумерованной обложки.

Раздел	Напечатанная страница
Общие указания для жюри	3
7 класс; 7.1 «Наступит утро ясное»	6
7.2 «Однажды в декабре»	8
7.3 «На всех парусах»	10
7.4 «Тайны египетских пирамид»	11
7.5 «В кругу друзей»	12
7.6 «Щели Кирквуда»	16
8 класс; 8.1 «Зенитный спутник»	19
8.2 «Под покровом Луны»	21
8.3 «Расширение сфер»	23
8.4 «Знак отличия»	26
8.5 «Загадочные дни»	29
8.6 «Щели Кирквуда»	32
Справочные данные	33

Условие

В Главном поясе астероидов существуют так называемые «щели Кирквуда» — области, где астероидов практически нет. Их появление связано с воздействием гравитации Юпитера: если периоды обращения Юпитера и астероида вокруг Солнца соотносятся как небольшие целые числа (например, $5:2$ , $7:3$ , $2:1$ ), такая орбита нестабильна. Определите аналогичное соотношение периодов для одной из самых заметных «щелей», обозначенной буквой $A$ на рисунке 2.

Подсказка. Известно, что период обращения тела вокруг Солнца $T$ связан с радиусом орбиты $r$ соотношением

T^2 = k r^3,

где $k$ — некоторая константа.

Гистограмма: по горизонтали «Радиус орбиты (а. е.)» от 2.0 до 3.5, по вертикали «Количество астероидов» от 0 до 350. Вертикальные пунктирные линии с треугольными метками отмечают провалы распределения: A (около 2.5 а. е.), 5:2 (около 2.82), 7:3 (около 2.96) и 2:1 (около 3.28). — Рис. 2: Распределение астероидов Главного пояса

Решение

Подпись повторённого рисунка в методическом пособии: Рис. 13: Распределение астероидов Главного пояса. Этот рисунок сохранён выше в условии с исходной подписью и неизменёнными опубликованными байтами; нумерация рисунков в вопроснике и пособии различается.

Напечатанная ссылка для задания 8.6: «См. решение задачи 7.6, страница 16» (физическая страница 17 PDF). Ниже приведено указанное решение и критерии из раздела 7 класса; задача 8 класса сохраняется отдельной страницей.

Возможное решение. Из рис. 7 видно, что характерный радиус орбит астероидов из «щели» $A$ составляет $r_A=2.5$ а. е.

Выразим отношения орбитальных периодов Юпитера и астероидов через радиусы их орбит, используя соотношение из подсказки к условию (третий закон Кеплера):

\frac{T_\mathrm{J}^2}{T_A^2}=\frac{kr_\mathrm{J}^3}{kr_A^3}=\frac{r_\mathrm{J}^3}{r_A^3} \quad\Longrightarrow\quad \frac{T_\mathrm{J}}{T_A}=\sqrt{\frac{r_\mathrm{J}^3}{r_A^3}}=\sqrt{\frac{5.2^3}{2.5^3}}=3.00.

Искомое соотношение равно $3:1$ . Период обращения Юпитера больше, так как он находится дальше от Солнца.

Альтернативное решение. Нетрудно найти значение коэффициента $k$ для Солнечной системы. Действительно, раз выражение $T^2=kr^3$ справедливо для любого тела, обращающегося вокруг Солнца, то оно справедливо и для Земли:

(1\ \text{год})^2=k\cdot(1\ \text{а. е.})^3,

так что $k=1\ \text{год}^2/\text{а. е.}^3$ , а третий закон Кеплера возможно переписать в виде

T_{[\text{год}]}^2=r_{[\text{а. е.}]}^3.

Тогда период обращения астероидов из «щели» $A$

T_A=\sqrt{kr_A^3}=\sqrt{2.5^3}\ [\text{год}]=3.95\ \text{год} \quad\Longrightarrow\quad \frac{T_\mathrm{J}}{T_A}=\frac{11.86\ \text{год}}{3.95\ \text{год}}=3.00=3:1.

Ещё одно решение. Возможно решить задачу не используя справочные данные о Юпитере. В самом деле, достаточно заметить, что диаграмма содержит сведения о радиусах орбит астероидов в а. е., а также о периодах их обращения вокруг Солнца в относительных единицах (периодах обращения Юпитера вокруг Солнца $T_\mathrm{J}$ ). Поставленная задача сводится к нахождению периода обращения астероидов с радиусом орбиты $r_A$ в тех же относительных единицах.

Например, для щели на $r_B=2.82$ а. е. имеем $T_B=\frac25T_\mathrm{J}$ . С учётом третьего закона Кеплера имеем

T_A=\sqrt{\frac{r_A^3}{r_B^3}}T_B=\sqrt{\frac{2.50^3}{2.82^3}}\times\frac25T_\mathrm{J}\approx0.333T_\mathrm{J},

то есть $T_\mathrm{J}:T_A\approx3:1$ .

Критерии оценивания:

Критерий	Баллы
1. Определение радиуса орбиты, соответствующего щели $A$ , с погрешностью не более $\pm0.01$ а. е.	6
2. Выражение для отношения периодов или определение коэффициента $k$	7
3. Вычисление ответа и запись в требуемом виде ( $3:1$ )	4 + 3
Арифметическая ошибка	−3
Ответ вида $1:3$ (инвертированный порядок) без указания, что период Юпитера больше, чем у астероидов Главного пояса	−3
Запись ответа в виде обыкновенной дроби с большими числителем и знаменателем (например, $900:299$ ), поскольку периоды должны соотноситься как «небольшие целые числа»	−2
Всего	20

Справочные данные

Некоторые основные физические и астрономические постоянные

Гравитационная постоянная: $G = 6.674 \cdot 10^{-11}$ м $^3$ · кг $^{-1}$ · с $^{-2}$
Скорость света в вакууме: $c = 2.998 \cdot 10^{8}$ м/с
Масса протона: $m_p = 1.673 \cdot 10^{-27}$ кг
Масса электрона: $m_e = 9.109 \cdot 10^{-31}$ кг
Астрономическая единица: 1 а. е. = $1.496 \cdot 10^{11}$ м
Парсек: 1 пк = 206 265 а. е. = $3.086 \cdot 10^{16}$ м

Данные о Солнце, Земле и Луне

Светимость Солнца: $L_{\odot} = 3.88 \cdot 10^{26}$ Вт
Видимая звёздная величина Солнца: $m_{\odot} = -26.8^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца: $T_{\odot,\,\mathrm{eff}} = 5.8 \cdot 10^{3}$ К
Поток энергии на расстоянии Земли: $E_{\odot} = 1.4 \cdot 10^{3}$ Вт/м $^2$
Тропический год = 365.24219 сут.
Средняя орбитальная скорость = 29.8 км/с
Звёздные сутки = 23 ч 56 мин 04 с
Наклон экватора к эклиптике: $\varepsilon = 23.44^{\circ}$
Сидерический месяц = 27.32 сут.
Синодический месяц = 29.53 сут.
Видимая звёздная величина полной Луны: $m_{☾} = -12.7^{\mathrm{m}}$

Характеристики Солнца, планет Солнечной системы и Луны

		Радиус орбиты, а. е.	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, 10 $^3$ км	Осевой период
⊙	Солнце			$1.989 \cdot 10^{30}$	697	25.38 сут.
☿	Меркурий	0.3871	87.97 сут.	$3.302 \cdot 10^{23}$	2.44	58.65 сут.
♀	Венера	0.7233	224.70 сут.	$4.869 \cdot 10^{24}$	6.05	243.02 сут.
⊕	Земля	1.0000	365.26 сут.	$5.974 \cdot 10^{24}$	6.37	23.93 ч
☾	↪ Луна	0.0026	27.32 сут.	$7.348 \cdot 10^{22}$	1.74	синхр.
♂	Марс	1.5237	686.98 сут.	$6.419 \cdot 10^{23}$	3.40	24.62 ч
♃	Юпитер	5.2028	11.862 лет	$1.899 \cdot 10^{27}$	71.5	9.92 ч
♄	Сатурн	9.5388	29.458 лет	$5.685 \cdot 10^{26}$	60.3	10.66 ч
♅	Уран	19.1914	84.01 лет	$8.683 \cdot 10^{25}$	25.6	17.24 ч
♆	Нептун	30.0611	164.79 лет	$1.024 \cdot 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: struve-2025-reg-prob-8.pdf · решение от архива: struve-2025-reg-sol.pdf