Съдържание

Струве 2026, Заключителен етап, 7. клас — Задача 6. Работа лабораторная, звёзды нормальные

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Струве 2026

V Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Заключительный этап. 7 класс · 10 т.

Архивное издание и авторство

Тренерский штаб сборной России по астрономии и астрофизике. Методическая комиссия олимпиады школьников по астрономии имени В. Я. Струве.

УДК 52(076.1), ББК 22.6. V Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Заключительный этап. Задания, решения и критерии оценивания: методическое пособие, под редакцией И. А. Утешева, А. В. Веселовой. Москва, 2026. 49 с.

Олимпиада для учащихся 7–8 классов дополняет Всероссийскую олимпиаду, в последних этапах которой участвуют 9–11 классы. Цели — популяризация астрономии и естественных наук, раннее выявление способных учащихся и привлечение к систематическим занятиям. Заключительный этап V олимпиады прошёл 6–7 мая 2026 года в распределённом формате в 65 регионах России от Камчатки до Калининграда.

Комплект подготовлен методической комиссией. Авторы-составители: А. В. Веселова (СПбГУ), М. И. Волобуева (ПФМЛ №239), В. Б. Игнатьев (лицей №5, ФТЛ), И. А. Утешев (МФТИ, ЦПМ), И. В. Чугунов (ГАО РАН), А. И. Шамбин (АГУ). Редакторы: И. А. Утешев — письменный тур, А. В. Веселова — компьютерный. Рецензенты: Б. Б. Эскин, И. И. Булыгин, С. Г. Желтоухов, Е. Н. Фадеев. Штаб благодарит Министерство просвещения РФ, МФТИ и причастных к проведению олимпиады.

Напечатаны сайт struve.astroedu.ru и контакт struve@astroedu.ru. Авторство архивного издания сохранено; отдельное официальное размещение именно этих байтов и разрешение полного воспроизведения не установлены. Решения атрибутированы архиву.

Письменный тур и принципы оценивания

На письменном туре предложены 6 задач, время — 3 часа 55 минут. Каждая требует развёрнутого письменного решения. Каждое задание оценивается из 10 баллов, максимум за тур — 60.

Принципы оценивания олимпиадных работ (архивный ключ).

Правильное решение оценивается полностью и не обязано буквально или логически повторять авторское. Частично верное/неверное решение оценивается частично/нулём.
Решение разбивается на логические шаги; каждый оценивается независимо по критериям. Оценка за задачу — сумма. За каждый критерий выставляется целая неотрицательная оценка. Штраф применяется к полной оценке критерия; штрафы внутри критерия складываются.
За одну ошибку не наказывают дважды. При последовательных действиях снижается соответствующий шаг, а последующие результаты пересчитываются и оцениваются как при правильном промежуточном ответе. Исключение: получен и проигнорирован заведомо абсурдный ответ; все связанные критерии могут снижаться до нуля.
Оригинальное решение оценивается по аналогии. Если оно эффективнее авторского, «выпадающие» критерии оцениваются полностью.
При не предусмотренной ошибке штраф определяет член жюри. Плохой почерк, помарки и недостатки оформления, не относящиеся к сути, не снижают оценку; заведомо абсурдная точность численных ответов может снижать.
Некоторые правильные идеи/догадки по решению могут суммарно получить 1–2 балла и без конкретных продвижений.
Не относящиеся к решению отвлечённые факты и произвольные формулы не оцениваются. Грубые физические/астрономические ошибки в необязательных дополнениях к правильному решению могут снизить оценку.

Каждое решение в жюри оценивается независимо двумя членами жюри; оценка согласуется. При невозможности согласовать решение принимает председатель жюри. Это напечатанное правило работы жюри, а не свидетельство отдельной проверки данной транскрипции.

Условие

Студенту-астроному Интегральчикову поручили исследовать параметры нормальных звёзд. Он составил сводную таблицу для нескольких десятков объектов и пытается на её основе самостоятельно рассчитать параметры звёзд, для которых он не смог найти весь массив данных. В таблице 2 мы приводим выдержку из его записей. Масса, радиус и светимость (мощность излучения) звёзд указаны в единицах соответствующих параметров для Солнца ( $\odot$ ).

а) Оцените недостающие параметры звёзд и объясните полученные ответы.

б) Постройте на рис. 4 график зависимости средней плотности звезды от её массы. Как меняется средняя плотность звёзд с увеличением их массы?

в) Студент заинтересовался звездой $\beta$ Журавля с массой $M = 3M_\odot$ и светимостью $L = 3\,800L_\odot$ .

Можно ли по данным таблицы оценить радиус звезды $\beta$ Журавля?
Видна ли эта звезда на севере России?

Подсказка. Объём шара радиусом $R$ есть $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$ , где $\pi \approx 3.14$ .

Таблица 2: Параметры некоторых нормальных звёзд

Название	Масса, $M_\odot$	Радиус, $R_\odot$	Температура, °C	Светимость, $L_\odot$	Возраст, млн лет
Бенетнаш	6.0	3.4	22 000	700	10
Регул	3.5	3.2	10 100	350	50
Сириус	2.0	1.7	9 670	25	230
Фомальгаут	1.9	1.8	8 230	16	200
IK Пегаса	1.7	1.6	7 400	8.0	400
Процион	1.5	1.9	6 300	7.8	1 700
Солнце	1.0	1.0	5 500	1.0	4 570
Толиман	0.90	0.87	4 980	0.50	4 850
Тау Кита	0.78	0.79	5 100	0.52	5 800
WASP-28	1.08	???	5 830	1.4	5 000
Денебола	1.8	1.7	8 200	???	300

Таблица 3: Таблица для расчётов

Название	Масса, $M_\odot$	Радиус, $R_\odot$
Бенетнаш	6.0	3.4
Регул	3.5	3.2
Сириус	2.0	1.7
Фомальгаут	1.9	1.8
IK Пегаса	1.7	1.6
Процион	1.5	1.9
Солнце	1.0	1.0
Толиман	0.90	0.87
Тау Кита	0.78	0.79

Пустая миллиметровая сетка с осями: по вертикали $\rho/\rho_\odot$, по горизонтали $M/M_\odot$, начало отсчёта подписано 0.0; делений на осях нет. — Рис. 4: Зависимость «масса — средняя плотность»

Решение

Возможное решение (архивный ключ, 7.6).

а) WASP-28 близка к Солнцу: масса немного больше солнечной, температура близка, светимость $1.4L_\odot$ . По таблице разумно ожидать радиус $(1.0\div1.1)R_\odot$ .

Замечание ключа. Более аккуратная оценка использует чернотельное приближение $L\propto R^2T^4$ :

\frac{L}{L_\odot}=\left(\frac{R}{R_\odot}\right)^2\left(\frac{T}{T_\odot}\right)^4.

Нужны кельвины: $T_\odot=5500+273=5773$ К, $T_{\rm WASP-28}=5830+273=6103$ К.

\frac{R_{\rm WASP-28}}{R_\odot} =\sqrt{1.4}\left(\frac{5773}{6103}\right)^2\approx1.06,\qquad R_{\rm WASP-28}\approx\mathbf{1.1R_\odot}.

Уточнённая оценка совпала с наивной. Денебола по массе, радиусу и температуре близка к Фомальгауту и IK Пегаса, поэтому ожидаем $L\approx(12\div15)L_\odot$ . При $T=8200+273=8473$ К:

\frac{L_{\text{Денеболы}}}{L_\odot} =1.7^2\left(\frac{8473}{5773}\right)^4\approx13.4,\qquad L_{\text{Денеболы}}\approx\mathbf{13L_\odot}.

б) Средняя плотность $\rho=M/(4\pi R^3/3)$ . В солнечных единицах:

\frac{\rho}{\rho_\odot}=\frac{M}{M_\odot}\left(\frac{R_\odot}{R}\right)^3.

Звезда	$M/M_\odot$	$R/R_\odot$	$\rho/\rho_\odot$
Бенетнаш	6.0	3.4	0.15
Регул	3.5	3.2	0.11
Сириус	2.0	1.7	0.41
Фомальгаут	1.9	1.8	0.33
IK Пегаса	1.7	1.6	0.42
Процион	1.5	1.9	0.22
Солнце	1.0	1.0	1.00
Толиман	0.90	0.87	1.37
Тау Кита	0.78	0.79	1.58

Рис. 7: Зависимость «масса — средняя плотность», исходные точки и шкалы

В приведённой небольшой выборке плотность в целом уменьшается с ростом массы, хотя зависимость не строго монотонна. Горизонтальная ось исходного рисунка имеет подпись $M/M_\odot$ и только напечатанную отметку 0.0; дополнительные деления не дорисованы.

в) Масса $\beta$ Журавля $3M_\odot$ между массами Сириуса и Регула, но $3800L_\odot$ намного больше светимостей близких по массе звёзд. Это объясняется большим радиусом, высокой температурой или обоими факторами. По данным таблицы надёжно оценить радиус нельзя: звезда не похожа на звёзды главной последовательности в этой выборке. В действительности это красный гигант, а звёзды таблицы — карлики разных цветов.

Журавль — южное созвездие. На юге России его ещё можно видеть низко над горизонтом, на севере оно не наблюдается. $\beta$ Журавля на севере России не видна.

Критерии оценивания — 10 баллов.

Критерий	Баллы
а1. Обоснованный радиус WASP-28	1
а2. Обоснованная светимость Денеболы	1
б1. Расчёт плотностей звёзд	2
б2. Правильный график	2
б3. Вывод о зависимости плотности от массы	1
в1. Обоснованный ответ о возможности определить радиус	2
в2. Видимость на севере России	1

Полный балл за б1 выставляется только при наличии расчётных формул.

Справочные данные

Некоторые основные физические и астрономические постоянные

Величина	Обозначение	Значение
Гравитационная постоянная	$G$	$6.674 \cdot 10^{-11}\ \mathrm{м^3 \cdot кг^{-1} \cdot с^{-2}}$
Скорость света в вакууме	$c$	$2.998 \cdot 10^{8}\ \mathrm{м/с}$
Масса протона	$m_p$	$1.673 \cdot 10^{-27}\ \mathrm{кг}$
Масса электрона	$m_e$	$9.109 \cdot 10^{-31}\ \mathrm{кг}$
Астрономическая единица	1 а. е.	$1.496 \cdot 10^{11}\ \mathrm{м}$
Парсек	1 пк	206 265 а. е. = $3.086 \cdot 10^{16}\ \mathrm{м}$
Световой год	1 св. год	365.25 сут. $\times\, c$ = $9.461 \cdot 10^{15}\ \mathrm{м}$

Данные о Солнце, Земле и Луне

Величина	Обозначение	Значение
Видимая звёздная величина Солнца	$m_\odot$	$-26.8^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot,\,\mathrm{eff}}$	$5.8 \cdot 10^{3}\ \mathrm{К}$
Поток энергии на расстоянии Земли	$E_\odot$	$1.4 \cdot 10^{3}\ \mathrm{Вт/м^2}$
Тропический год		365.24219 сут.
Сидерический (орбитальный) период		365.25636 сут.
Средняя орбитальная скорость		29.8 км/с
Звёздные сутки		23 ч 56 мин 04 с
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon$	$23.44^{\circ}$
Сидерический месяц		27.32 сут.
Синодический месяц		29.53 сут.
Ускорение свободного падения на поверхности Земли	$g$	$9.8\ \mathrm{м/с^2} = 9.8\ \mathrm{Н/кг}$

Характеристики Солнца, планет Солнечной системы и Луны

		Радиус орбиты, а. е.	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, $10^3$ км	Осевой период
☉	Солнце			$1.989 \cdot 10^{30}$	697	25.38 сут.
☿	Меркурий	0.3871	87.97 сут.	$3.302 \cdot 10^{23}$	2.44	58.65 сут.
♀	Венера	0.7233	224.70 сут.	$4.869 \cdot 10^{24}$	6.05	243.02 сут.
⊕	Земля	1.0000	см. выше	$5.974 \cdot 10^{24}$	6.37	23.93 ч
☾	↪ Луна	0.0026	27.32 сут.	$7.348 \cdot 10^{22}$	1.74	синхр.
♂	Марс	1.5237	686.98 сут.	$6.419 \cdot 10^{23}$	3.40	24.62 ч
♃	Юпитер	5.2028	11.862 лет	$1.899 \cdot 10^{27}$	71.5	9.92 ч
♄	Сатурн	9.5388	29.458 лет	$5.685 \cdot 10^{26}$	60.3	10.66 ч
♅	Уран	19.1914	84.01 лет	$8.683 \cdot 10^{25}$	25.6	17.24 ч
♆	Нептун	30.0611	164.79 лет	$1.024 \cdot 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Решения

Решения заданий будут опубликованы на сайте struve.astroedu.ru.

Компьютерный тур: граница источника

Компьютерный тур: участники выполняли задания в системе тестирования. Для каждого класса комплект содержит 30 заданий на общие астрономические знания, практические навыки и простые вычисления; время 2 часа 30 минут. Оценивается только ответ, 1–2 балла в зависимости от сложности и числа подвопросов, максимум 40. Полное содержание доступно на struve.astroedu.ru.

Эта страница содержит только описание и внешнюю ссылку. Самих тридцати условий и ключей каждого класса в данном PDF нет. Письменные шесть задач каждого класса не дополнены вымышленными компьютерными заданиями.

Справочные данные и историческая сноска

Справочные данные полностью сохранены из родного приложения. Историческая строка условий «Решения заданий будут опубликованы…» оставлена как исходная сноска; найденный49-страничный архивный ключ теперь представлен для соответствующего класса. Бланки ответа остаются связанными с исходными задачами; они не являются новыми заданиями.

Оригинал в Архива: struve-2026-final-prob-T-7.pdf · решение от архива: struve-2026-final-sol-T.pdf