Съдържание

Струве 2026, Регионален етап, 8. клас, втори ден — Задача 7. Старичок-шаровичок

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Струве 2026

V Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Региональный этап • 2026. 8 класс. День второй · 20 т.

Внимание: Бележка към темата

Ключи и критерии перенесены из архивного методического пособия регионального этапа 2026 года, день второй. В решении 8.7 при удвоении расстояния напечатано 7.5′ как половина 17′. В приложении к задаче 8.8 заголовок указывает 1799 год, а набранный подзаголовок — 1779 год. Эти несогласованности сохранены.

Указания участникам

Заполните листы ответов, выданные с комплектом заданий. Не забывайте делать необходимые пометки (например, отмечать измеряемые отрезки) на картах и чертежах. Дополнительные записи (обоснования, расчёты) и построения выполняйте на бланках решений (чистых листах). Пожалуйста, пишите коротко и по существу.

Обложка методического пособия

Тренерский штаб сборной России по астрономии и астрофизике Методическая комиссия олимпиады школьников по астрономии имени В. Я. Струве V Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве Региональный этап День второй Задания, решения и критерии оценивания Москва 2026

Содержание методического пособия

Содержание Общие указания для жюри 2 Характеристика комплекта заданий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Организация работы жюри и подведение итогов . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Принципы оценивания олимпиадных работ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 класс 5 7.6 Страх и Ужас в Лас-Струвусе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 7.7 Край вулканов и гейзеров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 7.8 Сияй, Crux, сияй . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 8 класс 22 8.6 Страх и Ужас в Лас-Струвусе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 8.7 Старичок-шаровичок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 8.8 Астрономия Петербурга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Приложения 38 К задаче 8.8: из месяцослова на 1799 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Справочные данные 39

Общие указания для жюри

V Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Региональный этап 2 Общие указания для жюри Характеристика комплекта заданий Региональный этап олимпиады в 2026 году проводится в два письменных тура. Комплект содержит по 8 задач для участников каждого класса. Задание №6 идентично для обоих классов. День (тур) Задачи За задачу Всего Первый (теоретический) №1–5 16 баллов 80 Второй (практический) №6–8 20 баллов 60 Максимальный результат 140 Организация работы жюри и подведение итогов 1. Жюри осуществляет деятельность в соответствии с пунктом 18 Положения об олимпиаде и пунктами 23–30 Регламента организации и проведения регионального этапа олимпиады. Эти документы опубликованы на сайте олимпиады struve.astroedu.ru. 2. Член жюри, ответственный за проверку какой-либо задачи, для обеспечения единообразия проверки должен проверить её решение у всех участников соответствующего класса. 3. Каждая задача проверяется независимо двумя членами жюри. Для определения окончательной оценки проверявшие задачу члены жюри проводят совместное обсуждение работ, по оценке которых возникли разногласия. Если устранить разногласия не удалось, решение принимает председатель жюри. При расхождении на 1 балл допустимо считать окончательной наибольшую из оценок без дополнительного обсуждения. В протокол жюри вносится одна согласованная оценка за задачу — целое число. 4. До подведения итогов олимпиады жюри обязано провести показ работ (по запросам участников) и рассмотреть апелляции о несогласии с выставленными баллами. Рассмотрение апелляции проводится в спокойной и доброжелательной обстановке. Изменение баллов в ходе процедуры апелляции не является «браком» в работе жюри! Каждый может ошибаться.

Общие указания для жюри — продолжение

V Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Региональный этап 3 5. Жюри определяет победителей и призёров олимпиады в пределах квоты, установленной региональным организатором, исходя из распределения результатов участников каждого класса в отдельности. Рекомендуется избегать ситуаций, когда граница между участниками с разным статусом проводится при небольшой разнице итоговых баллов. При определении победителей и призёров крайне рекомендуется исходить исключительно из относительного распределения результатов участников, без оглядки на потенциально возможный максимальный результат. В частности, Положением об олимпиаде не предусмотрены ограничения для признания победителем или призёром олимпиады участника, набравшего менее 50 % от максимума. Принципы оценивания олимпиадных работ 1. Правильное решение оценивается полным баллом, при этом оно не обязано повторять авторское буквально или логически. Частично верное или совершенно неверное решение оценивается соответственно частичным баллом или нулём. 2. Решение участника разбивается на логические элементы (шаги). Каждый из шагов оценивается независимо в соответствии с критериями, приведёнными после авторского решения задачи. Оценка за задачу равна сумме оценок за каждый из критериев. За каждый из критериев выставляется целая неотрицательная оценка. Если критерием предусмотрен штраф, он применяется к полной оценке за критерий. Штрафы в пределах одного критерия складываются*. 3. Каждый критерий оценивается независимо. За одну и ту же ошибку участник не может быть «наказан» дважды. Так, если критерии подразумевают выполнение последовательности действий и участник допускает ошибку, оценка снижается только за соответствующий шаг, а последующие результаты должны пересчитываться и оцениваться так, будто промежуточный ответ был правильным. Исключение: если участник получил и проигнорировал заведомо абсурдный ответ (конечный или промежуточный), оценка снижается за все связанные критерии вплоть до нуля. *Например, если критерий в 3 балла подразумевает вычисление некоторой величины (3 балла), и при этом участник допускает арифметическую ошибку (−1 балл), то итоговая оценка за этот критерий составляет 2 балла.

Общие указания для жюри — окончание

V Олимпиада школьников по астрономии имени В. Я. Струве. Региональный этап 4 4. Оригинальные решения, не совпадающие с авторскими, оцениваются по аналогии, если в них возможно выделить аналогичные шаги. Решение участника может оказаться более эффективным, чем авторское. В таком случае «выпадающие» критерии оцениваются в полном объёме. 5. Если участник совершает ошибку, не предусмотренную в критериях, член жюри самостоятельно определяет величину штрафа. Оценка не снижается за плохой почерк, помарки, недостатки оформления и прочие не относящиеся к сути решения участника элементы, но может быть снижена за запись численных ответов с заведомо абсурдной точностью. 6. Для выставления справедливой оценки необходимо учесть всю проделанную участником работу. Некоторые правильные идеи и догадки, имеющие отношение к корректному решению задачи, могут быть оценены суммарно в 1–2 балла даже при отсутствии конкретных продвижений. 7. Не оцениваются элементы, не имеющие отношения к решению конкретной задачи: отвлечённые факты и произвольные формулы. Однако если правильное решение содержит необязательные дополнения и комментарии с грубыми физическими и астрономическими ошибками, оценка может быть снижена. 8. Члены жюри могут обратиться за консультацией в методическую комиссию олимпиады по адресу struve@astroedu.ru.

Условие

Определять расстояния до далёких объектов весьма непросто, поэтому придумано довольно много методов оценки расстояний для объектов разного типа. Так, существовало мнение, что шаровые звёздные скопления обладают примерно одинаковыми пространственными размерами, поэтому по видимому угловому размеру (диаметру) можно оценить расстояние до такого скопления. В таблице 2 приведены измеренные расстояния и видимые угловые диаметры для некоторых шаровых скоплений.

Таблица 2: Некоторые шаровые звёздные скопления Млечного Пути

Скопление	Расстояние, тыс. св. лет	Угл. диаметр, угл. минуты ( $'$ )
M 22	3.2	32
M 15	10.3	18
M 4	6.16	35
M 5	7.5	23
Pal 2	90	1.9
Pal 12	64	2.9
M 9	25.8	12
M 55	17.3	19
M 62	22.5	15
M 72	54.7	6.6
NGC 1261	53.1	6.8
M 28	18.3	11.2
M 30	26.0	11
M 69	29.7	10.8
M 75	67.5	6.8
M 12	16.0	16
M 14	30.3	11
M 19	28.0	17
M 56	32.9	8.8
M 80	32.6	10
NGC 6569	35.5	7.0

а) Вычислите линейные радиусы скоплений. Определите скопления с наибольшим и наименьшим линейными радиусами. Верно ли предположение, что шаровые скопления имеют примерно одинаковые линейные размеры?

Заготовка графика на миллиметровой сетке: по горизонтали «Расстояние до скопления, тыс. св. лет» от 0 до 100, по вертикали «Видимый угловой диаметр скопления, ′» от 0 до 35. Нанесена убывающая кривая от примерно (14; 35) до (100; 4,8), проходящая около (30; 16) и (50; 9,6). — Рис. 3: Зависимость углового размера скопления от расстояния до скопления

б) Постройте график зависимости углового размера скопления от расстояния (рис. 3). Какую зависимость показывает нанесённая на заготовку графика кривая?

в) Предположим, скопление обладает средним для выборки размером. Каков будет его угловой диаметр при наблюдении с расстояния 50 тысяч световых лет?

г) Характерное количество звёзд в шаровом звёздном скоплении составляет $\sim 10^5$ . Оцените среднюю концентрацию звёзд в скоплении Pal 2.

Решение

Бланк ответов

а) Результаты расчётов см. в таблице 4.

Наименьший радиус: скопление M 22 — 15 св. лет;

наибольший радиус: скопление M 19 — 69 св. лет. Верно ли предположение? ☐Да ☑Нет

Обоснование: минимальный и максимальный размер скопления в выборке

отличаются более чем в 4 раза.

Таблица 4: Некоторые шаровые звёздные скопления Млечного Пути

Скопление	Расстояние, тыс. св. лет	Угл. диаметр, угл. минуты (′)	Диаметр, св. лет	Радиус, св. лет
M 22	3.2	32	30	15
M 15	10.3	18	54	27
M 4	6.16	35	63	31
M 5	7.5	23	50	25
Pal 2	90	1.9	50	25
Pal 12	64	2.9	54	27
M 9	25.8	12	90	45
M 55	17.3	19	96	48
M 62	22.5	15	98	49
M 72	54.7	6.6	105	53
NGC 1261	53.1	6.8	105	53
M 28	18.3	11.2	60	30
M 30	26.0	11	83	42
M 69	29.7	10.8	93	47
M 75	67.5	6.8	134	67
M 12	16.0	16	74	37
M 14	30.3	11	97	48
M 19	28.0	17	138	69
M 56	32.9	8.8	84	42
M 80	32.6	10	95	47
NGC 6569	35.5	7.0	72	36

б) Зависимость, показанная кривой: угловой размер шарового звёздного скопления

радиусом 69 св. лет (диаметром 138 св. лет) в зависимости от расстояния до скопления.

Полный заполненный график 21 скопления с осями, точками и исходной гиперболой, рис. 11.

Рис. 11: Зависимость углового размера скопления от расстояния до скопления

в) Средний размер: 82 св. года; угловой размер с 50 тыс. св. лет: 5.6′.

Расчёт: ср. размер

\langle D\rangle=\frac{\text{Сумма столбца «Диаметр»}}{\text{Кол-во скоплений}}=\frac{1725\ \mathrm{св.\ лет}}{21}\approx82\ \mathrm{св.\ года};

угловой размер

\beta\approx360^\circ\cdot\frac{\langle D\rangle}{2\pi r}=360^\circ\times\frac{82}{2\pi\times50\times1000}=0.094^\circ=5.6\prime.

г) Объём Pal 2 $\sim6.5\cdot10^4\ (\mathrm{св.\ лет})^3$ ; концентрация $\sim1.5/(\mathrm{св.\ лет})^3$ .

Расчёты: объём

V=\frac\pi6D_\mathrm{Pal\,2}^3=\frac\pi6\times(50\ \mathrm{св.\ лет})^3\approx6.5\cdot10^4\ (\mathrm{св.\ лет})^3;

концентрация

n=\frac{10^5}V=\frac{10^5}{6.5\cdot10^4\ (\mathrm{св.\ лет})^3}\approx1.5/(\mathrm{св.\ год})^3.

Полная астрофотография M13 с подписью и исходным авторством Chuck Ayoub (Wikimedia Commons), рис. 12.

Рис. 12: Шаровое звёздное скопление M 13 в Геркулесе

Астрофотография: Chuck Ayoub (Wikimedia Commons)

Возможное решение:

а) Шаровые звёздные скопления обладают малыми угловыми размерами, поэтому можно воспользоваться приближением малых углов (см., например, решение задачи 7.4(а)). Угловой диаметр скопления

\beta=360^\circ\cdot\frac D{2\pi r},

где 𝐷— линейный диаметр скопления, 𝑟— расстояние до него. Следовательно,

D=\frac\beta{360^\circ}\cdot2\pi r.

Удобно получить формулу для подстановки численных значений с учётом единиц измерения величин в таблице 4:

D[\mathrm{св.\ лет}]=\frac{\beta[\prime]}{360\times60\prime}\cdot2\pi\cdot r[\mathrm{тыс.\ св.\ лет}]\cdot1000=0.2909\cdot\beta[\prime]\cdot r[\mathrm{тыс.\ св.\ лет}].

Соответственно, радиус скопления 𝑅 = 𝐷/2. Результаты вычислений внесены в таблицу 4. Поскольку понятие радиуса (диаметра) шарового звёздного скопления весьма условно, у скопления нет чёткой границы (рис. 12), проводить вычисления с более чем двумя знаками было бы крайне безответственно.

Скопление с наименьшим радиусом — M 22 (15 св. лет), с наибольшим — M 19 (69 св. лет). Их размеры отличаются более чем в 4 раза, и это, судя по таблице, вовсе не случайность. Значит, гипотеза о примерной одинаковости линейных размеров шаровых звёздных скоплений неверна.

б) Нанесём точки (𝑟; 𝛽) на график (рис. 11).

Заметим, что на отмеченной кривой лежит одна точка, соответствующая скоплению M 19, имеющему наибольший радиус в выборке (69 св. лет). Практически на этой же кривой лежит ещё одна точка (M 75, радиус 67 св. лет).

Можно заметить, что эта кривая отражает обратную пропорциональную зависимость. В самом деле,

r_0=28\ \mathrm{тыс.\ св.\ лет}\mapsto\beta(r_0)=17\prime;\\r=14\ \mathrm{тыс.\ св.\ лет}=r_0\times\tfrac12\mapsto\beta(r)=34\prime=\beta(r_0)\times2;\\r=42\ \mathrm{тыс.\ св.\ лет}=r_0\times\tfrac32\mapsto\beta(r)\approx11.3\prime\approx\beta(r_0)\times\tfrac23;\\r=56\ \mathrm{тыс.\ св.\ лет}=r_0\times2\mapsto\beta(r)=7.5\prime=\beta(r_0)\times\tfrac12\quad\text{и т. д.}

Значит, точки этой кривой отражают зависимость видимого углового размера скопления заданного радиуса при различных расстояниях до наблюдателя. Размер скопления соответствует размеру M 19 (радиус 69 св. лет, диаметр 138 св. лет).

в) Средний размер (диаметр) скопления найдём как среднее арифметическое столбца «Диаметр» таблицы 4:

\langle D\rangle=\frac{D_1+D_2+\cdots+D_{21}}{21}\approx82\ \mathrm{св.\ года}.

Для нахождения видимого углового размера такого скопления при наблюдении с расстояния 𝑟= 50 тыс. св. лет воспользуемся ранее полученной формулой:

\beta[\prime]=\frac{\langle D\rangle[\mathrm{св.\ лет}]}{0.2909\cdot r[\mathrm{тыс.\ св.\ лет}]}=\frac{82}{0.2909\times50}[\prime]=5.6\prime.

г) Концентрация звёзд есть их количество $N\sim10^5$ , отнесённое к объёму $V$ скопления.

Объём скопления вычислим как объём шара известного диаметра (радиуса):

V=\frac\pi6D_\mathrm{Pal\,2}^3=\frac{4\pi}3R_\mathrm{Pal\,2}^3\approx6.5\cdot10^4\ (\mathrm{св.\ лет})^3.

Грубо оценить объём можно и как $V\sim D_\mathrm{Pal\,2}^3\sim1.3\cdot10^5\ (\mathrm{св.\ лет})^3$ .

Средняя концентрация звёзд в скоплении оценивается как

n\sim\frac NV=\frac{10^5}{6.5\cdot10^4\ (\mathrm{св.\ лет})^3}\approx1.5/(\mathrm{св.\ год})^3.

Отметим, что более грубая оценка объёма на порядок ответа $n\sim1/(\mathrm{св.\ год})^3$

не повлияет. Поскольку шаровые скопления существенно неоднородны по объёму, к центру концентрация будет существенно выше, к краям — ниже.

Критерии оценивания (★— приводится на бланке решения):

(а) Радиусы скоплений — 8

а1. Верное вычисление радиусов скоплений c точностью ±1 св. год — 5

• ★Отсутствует описание метода на бланке решения — –2

• Перепутаны диаметры и радиусы — –2, но полученные значения ошибочными не считаются.

• За каждое неверное значение радиуса (или диаметра) — –1, но не меньше 0 баллов за критерий а1.

Дальнейший анализ проводится на основе полученных значений.

а2. Указание скоплений с наименьшим и наибольшим радиусом — 1 + 1

а3. Верно ли предположение: ответ — нет — 1

• Отсутствует корректное обоснование ответа — –1

(б) График зависимости — 5

б1. Построение графика — 3

• За каждые три неверно отмеченные точки — –1, но не меньше 0 баллов за критерий б1.

б2. Верное указание смысла проведенной кривой как зависимости углового размера скопления заданного размера от расстояния — 2

• Указание на обратную пропорциональную зависимость — 1 Частичным баллом могут оцениваться и иные неполные формулировки.

(в) Среднее скопление — 3

в1. Корректное вычисление среднего размера скопления c точностью ±1 св. год — 1 Вычисление основывается на ранее полученных результатах.

• Перепутаны диаметры и радиусы — –1

в2. Корректное вычисление углового размера такого скопления — 2 Вычисление основывается на ранее полученных результатах.

• Отсутствует описание способа расчёта — –2

(г) Объём скопления и концентрация звёзд — 4 Вычисления основываются на ранее полученных результатах.

г1. Вычисление объёма: формула + ответ — 1 + 1

Засчитываются оценки $V\in[0.3D^3;D^3]\equiv[2.4R^3;8R^3]$ .

г2. Вычисление концентрации: формула + ответ — 1 + 1 Засчитываются оценки 𝑛с точностью не хуже 20 %.

Всего — 20

Справочные данные

Некоторые основные физические и астрономические постоянные

Гравитационная постоянная: $G = 6.674 \cdot 10^{-11}$ м $^3$ · кг $^{-1}$ · с $^{-2}$

Скорость света в вакууме: $c = 2.998 \cdot 10^{8}$ м/с

Масса протона: $m_p = 1.673 \cdot 10^{-27}$ кг

Масса электрона: $m_e = 9.109 \cdot 10^{-31}$ кг

Астрономическая единица: 1 а. е. = $1.496 \cdot 10^{11}$ м

Парсек: 1 пк = 206 265 а. е. = $3.086 \cdot 10^{16}$ м

Данные о Солнце, Земле и Луне

Светимость Солнца: $L_{\odot} = 3.88 \cdot 10^{26}$ Вт

Видимая звёздная величина Солнца: $m_{\odot} = -26.8^{\mathrm{m}}$

Эффективная температура Солнца: $T_{\odot,\,\mathrm{eff}} = 5.8 \cdot 10^{3}$ К

Поток энергии на расстоянии Земли: $E_{\odot} = 1.4 \cdot 10^{3}$ Вт/м $^2$

Тропический год = 365.24219 сут.

Средняя орбитальная скорость = 29.8 км/с

Звёздные сутки = 23 ч 56 мин 04 с

Наклон экватора к эклиптике: $\varepsilon = 23.44^{\circ}$

Сидерический месяц = 27.32 сут.

Синодический месяц = 29.53 сут.

Видимая звёздная величина полной Луны: $m_{\text{☾}} = -12.7^{\mathrm{m}}$

Характеристики Солнца, планет Солнечной системы и Луны

	Радиус орбиты, а. е.	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, $10^3$ км	Осевой период
Солнце			$1.989 \cdot 10^{30}$	697	25.38 сут.
Меркурий	0.3871	87.97 сут.	$3.302 \cdot 10^{23}$	2.44	58.65 сут.
Венера	0.7233	224.70 сут.	$4.869 \cdot 10^{24}$	6.05	243.02 сут.
Земля	1.0000	365.26 сут.	$5.974 \cdot 10^{24}$	6.37	23.93 ч
↪ Луна	0.0026	27.32 сут.	$7.348 \cdot 10^{22}$	1.74	синхр.
Марс	1.5237	686.98 сут.	$6.419 \cdot 10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	11.862 лет	$1.899 \cdot 10^{27}$	71.5	9.92 ч
Сатурн	9.5388	29.458 лет	$5.685 \cdot 10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	84.01 лет	$8.683 \cdot 10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	164.79 лет	$1.024 \cdot 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Справочные данные — методическое пособие