ВсОШ 2002, Заключителен етап — Задача 11.5. Линза и крест

• Собирающая линза с фокусным расстоянием f = 2a (a — размер клетки); отрезок креста вдоль оси имеет длину l = 3a, крест расположен на главной оптической оси на расстоянии 2f от линзы, изображение — симметрично по другую сторону линзы (рис. 18).

Один из отрезков предмета перпендикулярен главной оптической оси линзы, поэтому его изображение тоже перпендикулярно ей. Чтобы поперечное увеличение этого отрезка было единичным, он должен находиться на расстоянии $2f$ от линзы, причем $f > 0$. Второй отрезок и его изображение параллельны главной оптической оси, а это возможно, лишь если они лежат на ней. Пусть $l$ — длина отрезка креста вдоль главной оптической оси, $x_1$, $x_2$ — координаты его концов, $d$ — часть отрезка между $2f$ и $x_2$ (рис. 17), $a$ — размер клетки.

В зависимости от ориентации креста относительно линзы возможны три значения отношения $\alpha = d/l$, а именно $\alpha_1 = 1/3$, $\alpha_2 = 2/3$, $\alpha_3 = 1/2$. Условие равенства длин отрезка креста вдоль оси и его изображения:

или после преобразований:

Подставив сюда $x_1 = x_2 + l$, получим

Теперь подставим $x_2 = 2f - \alpha l$, тогда:

Поскольку $f > 0$, то $\alpha = \frac{1}{3}$ (для других $\alpha$ величина $f < 0$), чему соответствует $l = 3a$. Отсюда $f = 2a$, после чего легко восстанавливается вся оптическая схема (рис. 18).